콜러드 코스팬과 고차 코보디즘을 위한 약한 입방 카테고리

본 논문은 앞선 두 편의 논문(Part I, Part II)에서 제시된 약한 입방 카테고리와 콜러드 코스팬 개념을 종합·확장하여, 위상공간과 코너가 있는 다양체에 대한 고차 코보디즘을 기술한다. 서론에서는 Part I에서 정의한 n‑코스팬을 ∧ⁿ→X 라는 함자(functor)로 보는 입방 구조와, 이를 카테고리 수준에서 다루는 약한 입방 카테고리 Cosp\* (X)의 기본 개념을 재정리한다. 여기서는 푸시아웃이 존재하고 선택될 수 있는 pt‑category 개념을 도입해, ‘구별된 푸시아웃’이 존재하는 범주에서만 합성 연산이 정의될 수 있음을 강조한다. 섹션 2‑4에서는 콜러드 코스팬을 이용해 새로운 약한 입방 카테고리 Cc\* (Top)를 구축한다. 콜러드 코스팬은 각 입방 면에 콜러(embedding of a cylinder) 를 부착한 형태이며, 이러한 콜러가 있으면 일반 푸시아웃이 호모토피 푸시아웃과 동형이다(정리 II.2.5). 따라서 (co)호몰로지·동류 함자들이 콜러드 코스팬을 스팬(집합)으로 변환할 때, 호모토피 불변성을 유지한다. 이 구조는 1‑차원 제한 Cc(Top) 에서 약한 이중 카테고리 Cblc(Top) 의 변형으로 볼 수 있다. 또한, 무한 차원까지 확장 가능한 ‘무경계 입방 차원’ 개념을 도입해, 모든 차원에서 콜러드 구조가 일관되게 작동하도록 설계한다. 섹션 5에서는 콜러드 조건을 포기하고, 임의의 코스팬을 호모토피 푸시아웃으로 연결하는 ‘준 입방 카테고리’ C OSP\* (Top)를 정의한다. 여기서는 전통적인 퇴화 사상 eᵢ 를 원통형 퇴화 Eᵢ (= X ×