q피보나치 다항식 거듭제곱에 대한 재귀 관계

본 논문은 피보나치 수열과 그 다항식 버전의 거듭제곱에 대한 재귀 관계를 q‑아날로그 형태로 일반화하는 것을 목표로 한다. 서론에서는 고전적인 피보나치 수열 \(F_n\) 의 정의와 그 거듭제곱이 만족하는 재귀식(1.2)을 소개한다. 여기서 “fibonomial” 계수 \(\binom{n}{k}_F\) 가 등장하며, 이는 피보나치 수열의 곱셈 구조를 반영한다. 이어서 피보나치 다항식 \(F_n(x,s)\) 를 (1.3) 으로 정의하고, 그 거듭제곱이 만족하는 재귀식(1.4)와 다항식 fibonomial 계수(1.5)를 제시한다. 전통적인 경우에는 Binet 공식(1.6)·(1.7)을 이용해 \(\alpha,\beta\) 라는 두 근을 통해 거듭제곱을 선형 결합으로 표현하고, 차분 연산자 \(U\) 와 q‑binomial 정리를 활용해 (1.8)·(1.9) 로 전이한다. 본격적인 q‑아날로그 전개는 제2절에서 시작된다. Carlitz가 제안한 q‑피보나치 다항식 \(f_n(x,s)\) 를 (2.1) 로 정의하고, 초기 조건을 명시한다. 이 다항식은 전통적인 피보나치 다항식과 달리 q‑시프트 연산자를 포함하고 있어 Binet 형태의 닫힌 식이 존재하지 않는다. 대신, 저자는 q‑피보노미얼 계수 \(\bigl\langle\!\begin{smallmatrix}k\\j\end{smallmatrix}\!\bigr\rangle(x,s)\) 를 (2.7) 로 정의하고, 이를 통해 거듭제곱 \(f_n(x,s)^k\) 가 선형 결합 형태로 전개될 수 있음을 보인다. 핵심 결과인 Theorem 1(2.8)은 모든 정수 \(n\) 에 대해 \