양의 전단곡률을 가진 완비 켈러 다양체의 부피 성장과 곡률 감소

서론에서는 복소 차원 n≥2 인 완비 비압축 켈러 다양체 M 이 양의 전단곡률을 가질 때 부피 성장과 곡률 감소 사이의 알려진 관계들을 정리한다. Bishop 부피 비교정리에 의해 V(B(x₀,ρ))≤ω(n)ρ^{2n} 이며, 부피가 ρ^{2n} 수준이면 평균적인 스칼라 곡률은 ρ^{-2} 로 감소한다는 것이 기존 결과이다. 반면 Klembeck와 Cao가 제시한 예는 부피가 ρ^{n} 수준(최소 성장)일 때 곡률이 ρ^{-1} 로 선형적으로 감소한다는 두 극단을 보여준다. 저자는 이러한 두 극단 사이에 연속적인 성장률을 갖는 예가 존재하는지를 질문한다. 두 번째 장에서는 회전대칭 켈러 계량 g_{i\bar j}=∂²f/∂z_i∂\bar z_j 를 정의하고, 완비성(조건 i, ii)과 양의 전단곡률(조건 iii–v)을 보장하는 미분 조건들을 전개한다. 특히 전단곡률 양성은 R_{i\bar j k\bar l}a_i\bar a_j a_k\bar a_l>0 를 모든 비영벡터 a에 대해 만족해야 하며, 이를 A, B, C 로 표기한 후 부등식 형태로 정리한다. 세 번째 장에서는 구체적인 잠재함수 f 를 제시한다. α>β≥0 인 파라미터를 도입해 f(r²)=\frac{1}{(β+1)α^{β}}\int_{0}^{r²}\frac{