무작위 원호 배치와 집합의 크기와 대교차성

논문은 무작위 원호들의 무한 limsup 집합 \(E_{\ell}=\limsup_{n\to\infty}A(X_{n},\ell_{n})\) 를 연구한다. 여기서 \(\ell=(\ell_{n})\)는 0으로 수렴하는 비감소 실수열이고, \(X_{n}\)은 원 \(\mathbb T=\mathbb R/\mathbb Z\) 위에서 독립·균등하게 선택된 무작위 점이다. Dvoretzky가 제시한 “전체 원을 거의 확실히 덮는가?”라는 질문은 Shepp이 \(\sum_{n}n^{-2}\exp(\ell_{1}+\dots+\ell_{n})=\infty\) 라는 조건과 동치임이 알려져 있다. 그러나 이 급수가 수렴할 경우, 원호들이 차지하는 부분의 “크기”를 정량화하는 것이 남는다. 첫 번째 주요 결과는 Theorem 1이다. 임의의 게이지 함수 \(g\) (0 근처에서 비감소하고 \(g(r)/r\)가 비증가) 에 대해, \