저주파 관측으로부터 레비 과정의 비모수 추정

초록

본 논문은 일정한 간격으로 관측된 레비 과정의 샘플을 이용해 레비‑킨히치 특성(드리프트, 확산, 점프 측도)을 비모수적으로 추정하는 최소거리 추정법을 제시한다. 관측 횟수가 무한히 커질 때, 관측 간격은 고정된 상태에서 제안된 추정량은 일관성을 가지며, 특정 C² 손실함수를 사용하면 최적 수렴 속도를 달성한다. 핵심 증명은 전체 실선에 걸친 경험적 특성함수의 편차를 균일하게 제어하는 새로운 확률적 부등식에 기반한다.

상세 분석

이 연구는 레비 과정의 특성을 완전하게 기술하는 레비‑킨히치 공식을 비모수적으로 복원하는 문제에 초점을 맞춘다. 기존 문헌에서는 고주파(관측 간격이 점점 작아지는) 상황에서의 추정이 주로 다루어졌으며, 저주파(관측 간격 고정)에서는 식별성 문제가 존재한다는 점이 알려져 있었다. 저자들은 최소거리 추정(framework of minimum‑distance estimation)을 일반화하여, 관측된 증분들의 경험적 특성함수와 이론적 특성함수 사이의 L² 거리(또는 C² 손실)를 최소화하는 방식을 제안한다.

핵심 아이디어는 다음과 같다. 레비 과정 Xₜ의 증분 ΔXₖ = X_{kΔ} - X_{(k-1)Δ}는 동일한 분포를 가지며, 그 특성함수 ϕ(u)=E