그래프 동형성 판별을 위한 정점 워크 인바리언트

이 논문은 그래프 동형성 문제를 해결하기 위해 정점별 워크 카운트를 불변량으로 활용하는 새로운 알고리즘을 제안한다. 우선 인접 행렬 G 를 이용해 G^k 의 대각 원소 (G^k)_{ii} 가 정점 i 에서 시작해 길이 k 인 닫힌 경로(워킹)의 개수임을 이용한다. 저자는 k=1 부터 k=n 까지의 모든 k 에 대해 각 정점에 대해 이러한 값을 계산하고, 이를 정점별 벡터 d_i =((G^1)_{ii},(G^2)_{ii},…, (G^n)_{ii}) 로 만든다. 다음 단계에서는 모든 정점의 d_i 벡터 집합을 사전식으로 정렬한다. 두 그래프가 동형이면 정렬된 벡터 집합이 일치해야 하며, 일치한다면 정렬 순서를 통해 정점 매핑, 즉 동형 사상을 복원할 수 있다고 주장한다. 이 과정은 행렬 거듭 제곱을 통해 O(n^3 log n) 정도 시간에 수행될 수 있으며, 실제 구현에서는 큰 정수를 모듈러 연산으로 다루어 효율성을 높일 수 있다. 논문은 또한 대각 원소만을 이용해 그래프의 스펙트럼을 복원하는 방법을 제시한다. 고유값이 모두 서로 다른 경우(단순 스펙트럼)라면, 대각 워크 카운트로부터 고유값 λ_i 와 고유벡터 행렬 V 의 제곱 원소 (V_{ij})^2 을 역으로 구할 수 있다. 이를 통해 원래 인접 행렬 A 을 재구성하고, 결국 그래프 자체를 복원할 수 있다고 주장한다. 하지만 저자는 이론적 증명을 완전히 제공하지 못하고, “일반적인 경우”에만 성립한다는 가정에 머무른다. 실제로는 동일한 대각 워크 카운트를 갖는 비동형 그래프가 존재할 가능성이 있다. 특히 코스펙트럼 그래프, 강정규 그래프, 그리고 고유값 중복이 있는 경우에는 고유벡터 부호 선택의 자유도가 존재해 복원 과정이 다중 해를 가질 수 있다. 논문은 이러한 경우를 “특수한 경우”라 부르며, 추가적인 불변량이나 더 높은 차수의 워크 정보를 사용해 보완해야 한다고 제시한다. 마지막으로, 저자는 기존의 뉴턴 항등식과 켈만의 행렬 증명을 활용해 대각 원소와 행·열을 제거한 소행렬식 사이의 관계를 도출한다. 이를 통해 전체 특성 다항식과 부분 특성 다항식을 동시에 구할 수 있음을 보이며, 더 많은 불변량을 생성하는 방법을 제안한다. 그러나 실제 알고리즘 구현 시 메모리와 연산량이 급격히 증가할 수 있기에, 효율적인 구현 방안은 아직 미제시된 상태이다. 전체적으로 이 논문은 정점 워크 카운트를 이용한 그래프 동형성 검사 아이디어를 제시하지만, 완전성 증명과 실용적인 구현 측면에서 아직 해결해야 할 과제가 많다.