강력한 유계성 결과 가산 로젠탈 콤팩트 집합

논문은 가산 로젠탈 콤팩트 집합의 강력한 유계성을 연구한다 먼저 SR C 라는 클래스를 정의한다 이는 2^N 위의 콤팩트 메트릭 공간에 존재하는 가산 로젠탈 콤팩트 집합이며 연속함수들의 균등 유계 밀집열을 가진다 저자들은 이러한 집합을 B(2^N)^N 의 부분집합으로 코딩한다 여기서 B(2^N) 은 C(2^N) 의 닫힌 단위공을 의미한다 각 열 f=(f_n) 에 대해 ℓ1‑트리 T_f 를 정의한다 이는 f_n 들이 ℓ1 의 표준 기저와 어느 정도 동등한지를 나타내는 트리이다 Rosenthal의 이분법에 의해 T_f 가 잘못된 경우 f 는 SR C 에 속하지 않으며 반대로 T_f 가 잘 정의된 경우 f 가 SR C 에 속한다 따라서 Φ:f↦T_f 는 Borel 감소이며 SR C 를 WF(ℕ) 로 감소시킨다 이로써 SR C 가 Π^1_1 집합이며 φ(f)=o(T_f) 가 자연스러운 Π^1_1 순위가 된다 다음으로 기존의 위상학적 포함 관계 g0 에 대해 부분열 L_ε 를 선택해 선형 결합의 무한노름 차이가 ε 이하가 되도록 한다 이 조건은 Schauder 기본열인 경우와 일반 경우 모두에서 φ(g)≤φ(f) 를 보장한다 다음으로 주요 정리인 강력한 유계성 정리를 증명한다 즉 A 가 SR C 의 분석적 부분집합이면 하나의 f∈SR C 가 존재하여 A 의 모든 g 가 강하게 f 에 포함된다 이를 위해 임의의 가산 순서 ξ 에 대해 순서가 ≥ξ 인 유전적 유한 집합 F 를 선택하고 해당 집합 위의 지시함수 π_F,n 을 정의한다 이 열 (π_F,n) 은 SR C 에 속하고 φ값이 ξ 이상임을 보인다 따라서 φ값이 무한히 커지는 원소들이 존재함을 알 수 있다 이 사실을 이용해 A 의 모든 원소를 강하게 포함하는 f 를 구성한다 증명 과정에서 Borel 감소, 트리 순서, Rosenthal 이분법, Schauder 기본열의 등가성 등을 핵심 도구로 사용한다 최종적으로 SR C 가 강력한 유계성을 갖는 최초의 함수 공간 클래스 중 하나임을 확인한다