이진 형태소와 궁극적 주기성 단어

초록

본 논문은 이진 알파벳 {0,1} 위의 형태소 h가 비주기적인 무한 단어 w를 궁극적으로 주기적인 단어로 변환할 경우, h(0)와 h(1)이 반드시 교환법칙을 만족한다는 사실을 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 형태소 h가 두 이미지 문자열 x = h(0)와 y = h(1) 사이에 교환법칙이 깨지는 경우, 즉 xy ≠ yx인 경우를 가정한다. 이때 Proposition 2.1을 통해 x와 y가 서로 다른 길이를 갖는 경우, 혹은 같은 길이라도 서로 다른 문자 배열을 이루는 경우라면, 임의의 서로 다른 이진 문자열 a와 b에 대해 h(a) ≠ h(b)임을 보인다. 이는 h가 전사적(injective)인 성질을 갖게 함으로써, 이후 논증에 필요한 기본 전제다.

주요 정리는 Theorem 2.2이다. 여기서는 w가 궁극적으로 주기적인 형태 y z^ω (y와 z는 유한 문자열)로 변환된다고 가정한다. 이때 w의 모든 접두사는 h의 이미지에서도 같은 형태의 접두사로 나타나야 하므로, 무한히 많은 w의 접두사가 y z^* z₁ (z₁은 z의 접두사) 형태로 매핑된다. 이는 결국 무한히 많은 서로 다른 a_i (w의 접두사)들이 존재함을 의미한다.

두 경우를 나눠 분석한다. 첫 번째는 모든 a_i에 대응하는 p_i (z₂ z^{p_i} z₁ 형태의 지수)가 동일한 경우이다. 이때 Proposition 2.1에 의해 a_i가 모두 동일해야 하는데, 이는 w가 결국 주기적인 구조를 갖게 되어 가정에 모순된다.

두 번째는 p_i가 서로 다르다는 경우이다. 이때 a_i a_{i+1}와 a_{i+1} a_i의 이미지가 동일함을 보이고, Proposition 2.1에 의해 a_i와 a_{i+1}이 교환가능함을 얻는다. Lyndon‑Schützenberger 정리를 적용하면 a_i와 a_{i+1}은 같은 원시 문자열 b의 거듭제곱 형태(b^k, b^ℓ)임을 알 수 있다. 그러나 p_i ≠ p_{i+1}이므로 k ≠ ℓ이며, 이는 a_i와 a_{i+1} 사이에 길이 관계가 존재함을 의미한다. 이는 a_i가 최소 길이 조건을 만족한다는 가정에 위배되므로 모순이다.

따라서 초기 가정인 h(0)와 h(1) 사이에 교환법칙이 깨진다는 전제가 잘못되었으며, 결국 h(0)와 h(1)은 반드시 교환가능해야 함을 증명한다. 논문은 이 과정에서 형태소의 전사성, Lyndon‑Schützenberger 정리, 그리고 궁극적 주기성의 정의를 핵심 도구로 활용한다.