선택 페이딩 다중접속 MIMO 채널의 다양성 다중화 트레이드오프 완전 해석

본 논문은 선택 페이딩 환경에서 다중접속(MAC) MIMO 시스템의 다양성‑다중화(DM) 트레이드오프를 완전하게 규명하고, 이를 달성하기 위한 구체적인 코드 설계 기준을 제시한다. 연구는 먼저 시스템 모델을 정의한다. \(U\) 명의 사용자가 각각 \(M_T\) 개의 전송 안테나를 가지고, 하나의 수신기가 \(M_R\) 개의 안테나로 수신한다. 채널은 시간·주파수 인덱스 \(n\) 에 따라 변하며, 각 사용자‑채널 행렬 \(H_{u,n}\) 은 i.i.d. 복소 가우시안 엔트리를 갖는 레일리 페이딩을 따른다. 시간·주파수 상관은 공분산 행렬 \(R_H\) 로 모델링되며, 모든 사용자에 대해 동일한 상관 함수를 가정한다. 다음으로, 사용자는 고정된 전송 전력 제약 하에 Gaussian 코드북을 사용한다고 가정하고, 각 사용자 \(u\) 의 전송률을 \(R_u(\text{SNR})=r_u\log\text{SNR}\) 로 스케일링한다. 여기서 \(r_u\) 가 다중화율이며, 전체 다중화율 벡터 \(\mathbf{r}=(r_1,\dots,r_U)\) 로 표시한다. DM 트레이드오프를 분석하기 위해, 논문은 먼저 아웃티지 확률을 정의한다. 채널 실현 \(\{H_{u,n}\}\) 에 대해 모든 사용자 집합 \(S\subseteq\mathcal{U}\) 에 대해 합률 \(R(S)=\sum_{u\in S}R_u\) 가 채널 용량 \(\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\log\det\bigl(I+\frac{\text{SNR}}{M_T}H_{S,n}H_{S,n}^\dagger\bigr)\) 보다 작을 경우를 아웃티지 사건 \(O_S\) 로 정의한다. 전체 아웃티지 사건은 \(\bigcup_{S}O_S\) 로 표현된다. 아웃티지 확률을 고차원 상관 채널에 대해 직접 계산하는 것이 어려우므로, 저자들은 Jensen 불평등을 이용해 ‘Jensen 채널’ \(H_S\) 를 도입한다. 이는 각 슬롯의 채널 행렬을 수직으로 연결한 형태이며, 실제 채널 용량의 평균을 상한한다. Jensen 채널에 대한 아웃티지 확률 \(P(J_S)\) 는 기존 평탄 MIMO 결과와 동일하게 \(\text{SNR}^{-d_S(r(S))}\) 로 표현된다. 여기서 \(d_S(r)= (m(S)-r)(\rho M(S)-r)\) 로 정의되며, \(m(S)=\min\{|S|M_T,M_R\}\), \(M(S)=\max\{|S|M_T,M_R\}\), \(\rho=\text{rank}(R_H)\) 이다. 오류 사건을 \(2^U-1\) 개의 상호 배타적 사건 \(E_S\) 로 분해하고, 각 사건에 대해 ML 디코딩 시 발생할 수 있는 페어와이즈 오류 확률을 상한한다. 핵심은 코드워드 차이 행렬 \(\mathbf{E}_u\) 의 특이값이 충분히 크게 유지되는지 여부이다. 구체적으로, 모든 \(S\) 에 대해 최소 \(\rho|S|M_T\) 개의 비영특이값 \(\lambda_k\) 가 \(\text{SNR}^{-(r(S)-\epsilon)}\) 보다 크게 유지되면(식 17), 해당 오류 사건의 오류 확률은 Jensen 아웃티지와 동일한 지수 \(-d_S(r(S))\) 로 지배된다. 전체 오류 확률 \(P_e\) 는 가장 작은 지수 \(d_{S^\star}(r(S^\star))\) 를 갖는 사건에 의해 지배된다. 따라서 최적 DM 트레이드오프는 \