중심이 무한한 군의 Assouad Nagata 차원 무한성

1. 서론에서는 비대칭 차원(asdim)과 Assouad‑Nagata 차원(asdim AN)의 개념을 소개하고, 두 차원이 동일한 경우와 다른 경우에 대한 기존 연구들을 정리한다. 특히, 유한 생성 군에 대해서는 두 차원이 일치한다는 결과가 많았지만, 비생성 군이나 비표준 거리에서는 차이가 발생할 가능성이 제기되었다. Dranishnikov이 제시한 두 개의 질문—(1) ℤ의 모든 왼쪽 불변 거리에서 dim AN(ℤ)=1인가?, (2) Γ×ℤ에 대해 dim AN(Γ×ℤ)=dim AN(Γ)+1인가?—을 해결하기 위한 동기가 제시된다. 2. 예비 섹션에서는 s‑scale 체인, s‑scale 연결성, 그리고 asdim과 asdim AN의 정의를 엄밀히 제시한다. 또한, 적절한 왼쪽 불변 거리(proper left‑invariant metric)의 정의와 그와 대응되는 ‘노름(norm)’ 개념을 도입한다. Smith의 정리(두 노름이 조밀하게 동등함)를 인용해, 가산 군에서는 거리 선택이 큰 차이를 만들지 않음을 강조한다. 3. 핵심 기술은 ‘확대(dilatation) 임베딩’과 ‘비대칭 원뿔(asymptotic cone)’ 사이의 관계이다. Proposition 3.3은 ℤ^n의 큰 볼 B_n(0,k)를 어떤 거리 공간 X에 확대 상수 C_m와 함께 삽입할 수 있으면, X의 비대칭 원뿔에