연속시간 비선형 시스템의 이산 관측에 대한 Girsanov 정리 기반 입자 필터링

초록

본 논문은 연속시간 확률 미분 방정식으로 기술되는 비선형 시스템을 이산 시점에서 측정하는 최적 필터링 문제에 입자 필터링을 적용하는 방법을 제시한다. Girsanov 정리를 이용해 중요도 샘플링에 필요한 가능도 비율을 정확히 계산하고, 상태 차원보다 낮은 차원의 구동 잡음이 존재하는 경우에도 절대 연속성이 깨지는 상황을 다룬다. 또한 조건부 가우시안 모델과 정적 파라미터 추정에 대한 Rao‑Blackwellization 기법을 제안한다.

상세 분석

논문은 먼저 연속‑이산 필터링 문제를 수학적으로 정의한다. 시스템 동역학은 dX_t = f(X_t)dt + G(X_t)dW_t 형태의 SDE로 표현되며, 관측은 y_k = h(X_{t_k}) + v_k 로 이산 시점 t_k 에서 얻어진다. 기존 입자 필터링은 상태 전이 확률밀도 p(x_{t_k}|x_{t_{k-1}}) 를 직접 샘플링하고, 관측 가능도 p(y_k|x_{t_k}) 로 가중치를 업데이트한다. 그러나 연속시간 SDE에서는 전이밀도가 닫힌 형태로 존재하지 않아 가중치 계산이 어려워진다.

이 문제를 해결하기 위해 저자들은 Girsanov 정리를 도입한다. Girsanov 정리는 원래의 확률 측도와 변환된 측도 사이의 Radon‑Nikodym 미분을 제공하며, 이를 통해 “가짜” 드리프트를 가진 가상 경로를 샘플링하고, 실제 경로와의 가능도 비율을 정확히 계산할 수 있다. 구체적으로, 제안된 알고리즘은 (i) 기준 측도 Q 하에서 쉬운 드리프트 μ_0 로 SDE를 시뮬레이션하고, (ii) 실제 드리프트 μ 와 기준 드리프트 μ_0 사이의 차이를 이용해 라플라시안 L_k = exp(∫(μ−μ_0)·dW − ½∫‖μ−μ_0‖^2 dt) 를 구한다. 이 L_k 가 바로 중요도 가중치에 곱해지는 가능도 비율이다.

특히 논문은 상태 차원 n 에 비해 구동 잡음 차원 m 이 작아 p(X|W) 와 p(W) 가 절대 연속이 아닐 때 발생하는 문제를 다룬다. 이 경우 Girsanov 정리를 직접 적용할 수 없으므로, 저자들은 상태를 잡음에 대한 함수 형태로 재표현하고, 잡음 경로를 직접 샘플링한 뒤 조건부 확률을 이용해 가중치를 보정한다. 이는 “low‑dimensional noise” 상황에서도 정확한 중요도 샘플링을 가능하게 한다.

또한 조건부 가우시안 구조를 갖는 모델에 대해 Rao‑Blackwellization을 수행한다. 상태를 선형‑가우시안 부분과 비선형‑비가우시안 부분으로 분리하고, 선형 부분은 칼만 필터로 정확히 추정한 뒤, 비선형 입자 집합에만 샘플링을 적용한다. 이 과정은 입자 수를 크게 감소시키면서도 추정 정확도를 유지한다.

정적 파라미터 θ 를 포함하는 경우, θ 를 확장 상태에 포함시키고, θ 에 대한 사후 분포를 입자 가중치와 함께 업데이트한다. 저자들은 사전 분포와 사후 분포를 직접 샘플링하는 대신, 충분히 큰 입자 집합을 이용해 θ 의 기대값을 추정하는 방식으로 계산 복잡도를 낮춘다.

실험 섹션에서는 비선형 회전 모델, 다중 센서 추적, 그리고 금융 옵션 가격 모델 등 네 가지 사례를 제시한다. 모든 사례에서 제안된 Girsanov 기반 입자 필터는 전통적인 Euler‑Maruyama 기반 입자 필터보다 평균 제곱 오차가 30 % 이상 감소했으며, Rao‑Blackwellization을 적용한 경우 입자 수를 1/4 로 줄여도 성능 저하가 거의 없었다.

결론적으로, Girsanov 정리를 활용한 가능도 비율 계산은 연속‑이산 필터링에서 핵심적인 수치적 어려움을 해소하고, 저차원 잡음 및 조건부 가우시안 구조를 가진 복잡한 시스템에도 효율적으로 적용될 수 있음을 입증한다.