분산 없는 KdV 계층의 라그랑지안 접근

논문은 먼저 분산 없는 KdV 방정식 uₜ = (3/2) u uₓ, 즉 리만 방정식으로 시작한다. 이 방정식은 재귀 연산자 Λ = u + ½ uₓ ∂ₓ⁻¹에 의해 정의되는 무한 계층 uₜ = Λⁿ uₓ (n = 0,1,2,…)을 생성한다. 저자들은 각 계층의 계수를 Aₙ으로 표기하고, Aₙ을 재귀적으로 구하는 공식 Aₙ = (1 + 1/(2n)) Aₙ₋₁을 제시한다. 라그랑지안 접근을 위해 u = −wₓ라는 포텐셜 변수를 도입한다. 이 변환을 적용하면 원래의 비선형 방정식이 wₜₓ = Aₙ(−1)ⁿ wₓⁿ wₓₓⁿ 형태가 되고, 이는 자기수반적인 프랙헤터 미분 연산자를 통해 라그랑지안 밀도 Lₙ = ½ wₜ wₓ + Aₙ(−1)ⁿ⁺¹/(n+1)(n+2) wₓⁿ⁺²를 얻는다. 여기서 불필요한 게이지 항을 제거해도 물리적 내용은 변하지 않는다. 레전드르 변환을 수행하면 해밀토니안 밀도 Hₙ = Aₙ (n+1)(n+2) uⁿ⁺²가 도출되며, 이는 기존 문헌에서 알려진 보존밀도와 일치한다. 다음으로 저자들은 보존 흐름을 편미분 형태 uₜ + ∂ₓ ρ