인과 모델은 완전한 공리화가 불가능함

초록

본 논문은 베이지안 네트워크가 표현하는 인과 모델이 유한하거나 가산한 수의 Horn·디스정합 절을 이용한 완전한 공리 체계로는 기술될 수 없음을 증명한다. 핵심은 인과 모델의 부분 모델이 다시 인과 모델이 될 필요가 없다는 점이며, 이는 무방향 그래프 기반의 그래프‑동형 모델과는 달리 폐쇄성을 상실한다는 사실에서 비롯된다.

상세 분석

논문은 먼저 조건부 독립(CI) 관계를 형식화하기 위해 독립성 논리(I L)를 정의하고, Horn 절과 디스정합 절을 이용한 공리화 개념을 도입한다. 기존 연구에서 무방향 그래프가 표현하는 그래프‑동형 모델은 semi‑graphoid 공리 네 개만으로 완전히 기술될 수 있음을 상기한다. 그러나 베이지안 네트워크, 즉 인과 모델은 d‑separation이라는 보다 복잡한 분리 규칙에 의해 정의되며, 이는 방향성 및 콜리전 구조를 포함한다. 논문은 “부분 모델(closed under sub‑models)”이라는 성질을 분석한다. 모든 그래프‑동형 모델은 임의의 변수 부분집합에 제한해도 여전히 그래프‑동형 모델이 되지만, 인과 모델은 그렇지 않다. 이를 증명하기 위해 저자는 특정 DAG(그림 1)와 그에 대한 변수 집합 V={1,2,3,4}를 선택한다. 원래 인과 모델 M은 D = ( U, → E ) 로 정의되며, V에 대한 제한 M|V는 몇몇 변수 쌍 사이에 어떠한 조건부 독립도 존재하지 않음(D(α,β) 관계)을 보인다. 그러나 이러한 D(α,β) 관계와 동시에 존재해야 하는 독립성 I(1,∅,3), I(2,∅,4) 등을 동시에 만족시키는 DAG는 존재할 수 없으며, 이는 방향성 충돌(2→3와 2←3가 동시에 나타날 수 없음) 때문에 모순이 발생한다. 따라서 M|V는 어떠한 DAG로도 표현될 수 없고, 인과 모델 집합이 부분 모델에 대해 닫혀 있지 않음을 확인한다. 공리화 이론에 따르면, 어떤 독립성 모델 집합이 부분 모델에 대해 닫히지 않으면, 그 집합을 Horn 절이나 디스정합 절의 가산 집합으로 완전히 기술할 수 없다. 즉, 인과 모델 전체를 포괄하는 완전한 공리 체계는 존재하지 않는다. 논문은 이 결과가 기존의 부정적 결과(Studeny 등)와 일치함을 언급하고, 그래프‑동형 모델과 인과 모델 사이의 근본적인 차이를 강조한다. 마지막으로, 이 비폐쇄성은 인과 추론 알고리즘 설계 시 제한 요소가 될 수 있음을 시사한다.