트리의 부분 이동 대수

본 논문은 2006년에 발표된 저자들의 선행 연구(“Partial Translation C*-algebras for discrete metric spaces”)를 확장하여, 트리와 그 부분공간에 대한 부분 이동(partial translation) C*-대수를 구체적으로 분석한다. 서두에서는 균일 Roe 대수 \(C^*_u(X)\)가 이산 거리공간 \(X\)의 거친 기하를 포착하지만, 일반적인 경우에는 군의 reduced C*-대수와 같은 강한 대수적 정보를 제공하지 못한다는 점을 지적한다. 이를 보완하기 위해 “부분 이동”이라는 개념을 도입한다. 정의에 따르면, 부분 이동은 부분집합 \(S\subset X\)에서 정의된 전단사이며, 모든 점에 대해 이동 거리가 유계이다. 이러한 전단사는 \(\ell^2(X)\) 위의 부분 등거리 연산자 \(\tau\)로 구현되고, 이 연산자들의 C*-대수 \(C^*(\mathcal T)\)가 부분 이동 대수이다. 이 대수는 균일 Roe 대수의 부분대수이며, 적절한 \(\mathcal T\)를 선택하면 군의 reduced C*-대수와 동형이 된다(정리 27). 논문은 이후 트리와 그 서브셋을 구체적인 사례로 삼아, 부분 이동 대수가 어떻게 고전적인 C*-대수와 확장 구조를 재현하는지를 보여준다. 1. **정수선 \(\mathbb Z\)와 자연수 \(\mathbb N\)의 포함** \(\mathbb Z\)는 양쪽 무한히 뻗은 1‑정점 트리이며, 전체 이동 \(\sigma_1:n\mapsto n+1\)은 양방향 시프트 연산자이다. 이를 \(\mathbb N\)에 제한·축소하면 부분 이동 \(\tau_1\)가 얻어지며, 이는 일방향 시프트 연산자와 동일하다. Lemma 1과 정리 1을 통해 \(\tau_1\)와 그 역 \(\tau_1^*\)가 생성하는 대수는 Toeplitz 대수 \(\mathcal T\)와 동형이며, 컴팩트 연산자를 포함한다. 사상 \(\tau_n\mapsto\sigma_n\)는 \(\mathcal T\)를 \(\mathbb Z\)의 reduced group C*-대수 \(C^*_\rho(\mathbb Z)\)와 연결하고, 커널이 정확히 컴팩트 대수임을 보인다. 따라서 Toeplitz 확장 \