워른스도프 기사 이동 휴리스틱, 실제 효율은?

본 논문은 1823년 워른스도프가 제안한 기사 이동 휴리스틱(워른스도프 규칙)의 실제 효율성을 8×8 체스판에서 정량적으로 분석한다. 워른스도프 규칙은 현재 위치에서 가능한 다음 이동 중 자유도가 가장 낮은 정점(즉, 남은 이동 가능성이 가장 적은 정점)으로 이동하는 탐욕적 알고리즘이다. 이 규칙은 전통적으로 “대부분의 경우” 해밀턴 경로(체스판 전체를 한 번씩 방문하는 경로)를 생성한다는 경험적 믿음이 있었지만, 언제나 성공한다는 보장은 없다. 논문은 먼저 기사 이동을 그래프 G = (V, E) 로 모델링한다. V는 1 ≤ i, j ≤ 8인 좌표쌍, E는 |i−k|,|j−l|가 {1,2}인 쌍으로 정의된다. 기사 이동은 8개의 (dx, dy) 벡터로 표현되며, 이들의 순서를 정하는 것이 워른스도프 규칙의 핵심이다. 저자는 8! = 40 320개의 가능한 순열을 모두 고려하고, 각 순열을 64개의 시작점에 적용해 시뮬레이션을 수행하였다. 시뮬레이션 구현 시, 현재 정점에서 자유도가 동일한 여러 후보가 있을 경우 프로그래밍 루프에서 처음(또는 마지막)으로 마주치는 정점을 선택하도록 하였다. 이 선택 방식은 순열 전체를 평균화했을 때 대칭성을 유지하므로, 첫 번째와 마지막 선택이 결과에 미치는 차이는 없었다. 실험 결과는 다음과 같다. 전체 40 320개의 순열 중 32 944개(≈81.7%)가 최소 하나의 시작점에서 비해밀턴 경로를 생성하였다. 반대로, 7 376개(≈18.3%)의 순열만이 모든 64개의 시작점에서 해밀턴 경로를 만들었다. 즉, 무작위로 순열을 선택했을 때 전체 체스판을 완전 순회할 확률은 약 0.18에 불과하다. 비해밀턴 경로가 발생하는 경우는 시작점에 따라 1개에서 최대 9개까지 다양했다. 가장 많이 비해밀턴 경로를 만든 순열은 <1,2> <1,-2> <-2,-1> <2,-1> <-2,1> <-1,-2> <-1,2> <2,1> 로, 9개의 시작점에서 실패했다. 반면, <1,2> <2,1> <1,-2> <-1,2> <-2,-1> <2,-1> <-1,-2> <-2,1> 은 모든 64개의 시작점에서 해밀턴 경로를 생성해 64개의 성공적인 투어를 만든다. 전체 가능한 투어(시작점 × 순열) 수는 64 × 40 320 = 2 580 480이며, 이 중 78 832개가 비해밀턴 경로였다. 이는 전체 투어의 약 3.05%에 해당한다. 순열 수준에서의 81.7% 비해밀턴 비율과는 차이가 있지만, 이는 동일 순열이라도 시작점에 따라 성공 여부가 달라지는 현상을 반영한다. 논문은 이러한 통계적 결과를 통해 워른스도프 규칙이 “대부분 성공한다”는 전통적 인식이 과장되었음을 지적한다. 특히, 순열 선택이 결과에 결정적인 영향을 미치며, 최적 순열을 찾는 것이 실용적인 투어 생성에 핵심임을 강조한다. 자유도 최소화라는 지역 최적 선택이 전역 최적(해밀턴 순회)과 일치하지 않을 가능성을 구체적인 수치로 제시함으로써, 향후 알고리즘 설계 시 전역 탐색 전략이나 백트래킹과의 결합 필요성을 시사한다. 또한, 순열 대칭성(예: abcdefgh와 hgfedcba) 때문에 첫 번째와 마지막 정점 선택이 결과에 차이를 만들지 않는다는 흥미로운 대칭적 특성을 발견하였다. 결론적으로, 워른스도프 휴리스틱은 간단하고 직관적이지만, 무작위 순열에 의존할 경우 성공 확률이 낮으며, 실제 응용에서는 순열 최적화 혹은 추가적인 탐색 기법과 결합하는 것이 바람직함을 제안한다.