루빅스 큐브 최단 해법 25수 증명: 새로운 알고리즘과 대규모 탐색

본 논문은 루빅스 큐브의 최악 경우 해법 길이, 즉 군의 직경(diameter)을 25수 이하로 제한하는 새로운 증명을 제시한다. 서론에서는 큐브가 30년 넘게 연구된 퍼즐임에도 불구하고, 최악 경우가 정확히 몇 수인지 아직 확정되지 않았음을 언급한다. 현재 알려진 바에 따르면 최소 20수는 필요하고, 27수 이상은 필요하지 않으며, 최근 연구에서는 26수 이하라는 상한을 제시하고 있다. 저자들은 이 격차를 메우기 위해 두 개의 2 × 10⁹ 규모 집합으로 전체 상태 공간을 분할하고, 각각에 대해 상한을 구한 뒤 결합하는 전략을 채택한다. 2절에서는 큐브의 구조와 색, 움직임 정의를 상세히 설명한다. 18개의 기본 움직임 S(90° 시계, 90° 반시계, 180° 회전)와 그에 따른 코너·엣지의 퍼뮤테이션, 오리엔테이션 제약을 정리하고, 전체 가능한 위치 수를 약 4.33 × 10¹⁹개(G)로 계산한다. 거리(d(p))는 해당 위치에 도달하는 최단 움직임 수이며, 집합의 거리란 그 집합 내 모든 위치의 최대 거리이다. 3절에서는 큐브의 대칭성을 활용한다. 물리적 회전·반사에 의해 48가지 색 매핑(M)이 존재하고, 각 위치는 그 대칭군과 역대칭을 포함한 집합으로 묶일 수 있다. 이를 통해 전체 위치를 약 4.51 × 10¹⁷개의 대칭·역대칭 축소 집합으로 압축한다. 4절에서는 직경을 구하는 전통적 방법(전부 열거 후 최적 해)과 그 비현실성을 언급한다. 현재 최적 솔버는 평균 15분이 소요되며, 전체 집합을 다루면 수천 년이 필요하다. 따라서 새로운 접근이 필요함을 강조한다. 5절은 Koścemba의 2‑phase 알고리즘을 중심으로 한다. 먼저 H 집합(≈19.5 억개)을 정의한다. H는 코너·엣지가 올바른 오리엔테이션을 가지고, 중간 레이어 엣지가 제자리에 있는 상태이며, A군(특정 10개의 움직임)만으로 완전 해결이 가능하다. H에 대한 거리 테이블은 300 MB 메모리로 저장될 수 있다. Phase 1은 임의의 위치를 H에 12수 이내로 이동시키고, Phase 2는 A군을 이용해 H에서 완전 해결한다. Koścemba는 이 과정을 29수 이하의 해를 거의 즉시 제공한다. 저자들은 Koścemba 알고리즘을 확장한다. 첫 번째 확장은 한 번에 여섯 변환을 동시에 고려해 근접 최적 해 탐색 속도를 높이는 것이다. 두 번째는 이 알고리즘을 “집합 솔버” 형태로 변형해, 수십억 개의 위치를 동시에 처리한다. 이를 위해 라벨링 변환 r(p)를 정의한다. r(p)는 코너와 엣지의 순열을 무시하고 오리엔테이션만을 보존하도록 색 스티커를 재배치한다. 변환 후 얻어지는 R 집합은 약 2.22 × 10⁹개의 상태로, 16배 대칭 축소와 2비트 per entry 압축을 통해 메모리 내에 전체 거리 테이블을 구축할 수 있다. 이후 알고리즘 흐름은 다음과 같다. (1) 입력 위치 p에 대해 r(p)를 계산해 R에 매핑한다. (2) R에 대한 사전 구축된 거리 테이블을 이용해 최소 거리 d₁을 찾고, 해당 거리 이하의 움직임 시퀀스 a∈S*를 구한다. (3) a를 원래 큐브에 적용해 p·a를 H에 위치시킨다. (4) H에 대한 A군 거리 테이블을 사용해 추가 움직임 b∈A*를 찾아 최종적으로 p·a·b가 완전 해결 상태가 된다. 전체 시퀀스는 a·b이며, 이 길이는 25수 이하가 된다. 논문은 또한 “집합 제거” 전략을 소개한다. 특정 집합은 다른 집합과 결합될 때만 나타나므로, 사전에 이러한 집합을 배제함으로써 탐색 대상 수를 크게 줄인다. 최종적으로 저자들은 16 M positions/second의 처리 속도를 달성한 프로그램을 이용해 전체 4.51 × 10¹⁷개의 축소 집합을 검증했으며, 모든 위치가 25수 이하로 해결 가능함을 증명한다. 결론에서는 이 결과가 루빅스 큐브의 직경을 25수 이하로 확정짓는 중요한 진전이며, 향후 더 정밀한 분석과 하드웨어 가속을 통해 실제 God’s number가 20수임을 완전히 증명하는 데 기여할 수 있음을 제시한다. 다만, 구현 세부사항과 검증 로그의 공개가 필요하다는 점을 언급한다.