범주론에서의 아르키메데스 조건 탐구

본 논문은 “아르키메데스 조건”이라는 고전적인 순서·대수적 개념을 범주론적 맥락으로 확장하려는 시도를 다룬다. 서론에서는 반군집 (E,+,≤)에 대한 두 가지 전통적 정의를 상기한다. 첫 번째는 양의 원소 u 가 존재해 모든 x 에 대해 충분히 큰 자연수 n 에 대해 nu ≥ x 가 되는 형태(1.2)이며, 두 번째는 양의 원소 x 가 상한을 가질 경우에만 x=0 이라는 등가 명제(1.3·1.4)이다. Lemma 1은 전순서(전전순서) 반군집에서 두 정의가 서로 함의함을 증명한다. 범주 C 에 아르키메데스 개념을 도입하기 위해, 저자는 사상을 “단위”로 삼아 반복 합성을 고려하고자 한다. 그러나 일반 범주에서는 사상을 자기 자신과 합성할 수 없으므로, 이를 우회하기 위해 ‘화살표 범주’ C²를 도입한다. C²의 객체는 C의 사상 f:A→B이며, 두 객체 f,g 사이의 사상은 (a,b) ∈ Hom_C(A,A′)×Hom_C(B,B′) 로 정의되고, 사각형 A→B, A′→B′ 가 교환한다는 조건을 만족한다. C²에서의 합성은 (a′,b′)∘(a,b) = (a′∘a, b′∘b) 로 정의된다. 이 구조를 바탕으로 두 사상 f,g 이 ‘unitary equivalent’하다는 것을 C²에서 동형인 객체로 보는 정의를 제시한다. 즉, 존재하는 (a,b)와 (a⁻¹,b⁻¹) 가 서로 역을 이루어 f와 g를 연결한다는 의미이다. 첫 번째 아르키메데스 조건(2.1)은 다음과 같다. 어떤 사상 U→W (이를 ‘단위 사상’이라 부른다)이 존재하고, 임의의 사상 f:A→B에 대해, 일련의 사상 U₁→W₁, …, Uₙ→Wₙ 이 존재한다. 이 사상들은 C²에서 차례대로 합성 가능하고, 각각 U→W 와 unitary equivalent하며, f 는 Uₙ∘…∘U₁ 의 ‘부분사상’이다. 여기서 부분사상은 정의 (2.2)와 같이 두 보조 사상 a:C→A, b:B→D 가 존재해 g = b∘f∘a 가 되는 관계이다. 두 번째 조건(2.5)은 “모든 사상 v:U→W에 대해, v와 unitary equivalent인 사상의 반복 합성으로 만든 집합 N_v 가 C에서 상한을 갖는다면, v 는 항등 사상이다”라는 형태다. 상한의 정의는 어떤 사상 f 가 N_v 의 모든 사상을 포함하도록 하는 사상 f 가 존재한다는 의미이다. 다음으로, 저자는 이 두 정의를 ‘부분순서(quasi‑ordered) 범주’에 적용한다. 부분순서 범주는 객체 사이에 최대 하나의 사상만 존재하는 특수한 범주이며, 이는 반사적·전이적 관계 ≤ 로 완전히 기술된다. C² 역시 부분순서 구조가 되며, 객체는 (A,B) 형태, 사상은 A≤A′, B≤B′ 조건을 만족한다. 여기서 unitary equivalence는 (A,B)와 (C,D) 사이에 A≈C 및 B≈D (즉, 상호 순서 관계)라는 동치 관계와 일치한다. 이러한 관찰을 바탕으로 (2.1)을 구체화하면, 모든 A≤B에 대해 어떤 U≤W 가 존재해 U≤A≤B≤W 가 되는 식(3.10)으로 단순화된다. 이는 곧 ‘범주가 유계(bounded)’하다는 의미와 동치이며, 이를 Proposition 1로 정리한다. 즉, 부분순서 범주에서 (2.1) 형태의 아르키메데스 조건은 “범주가 상한과 하한을 갖는” 것과 동치이다. 반면 (2.5)를 부분순서 범주에 적용하면, 모든 사상 U→W에 대해 N_{U,W} 는 언제나 상한을 갖는다(왜냐하면 U≤U₁≤…≤Uₙ₊₁≤W 와 같은 사슬이 항상 존재하기 때문이다). 따라서 (2.5)는 “모든 사상이 항등이다”라는 강한 결론을 낳는다. 이는 Proposition 2에서 “부분순서 범주가 (2.5) 형태의 아르키메데스 조건을 만족하려면 반드시 이산(discrete)해야 한다”는 결과로 요약된다. 마지막으로, 두 정의가 기존의 반군집 아르키메데스 성질을 충분히 포착하지 못한다는 비판적 논의가 제시된다. 특히 (2.1)은 부분순서 범주에서는 단순히 유계성만을 의미하고, (2.5)는 지나치게 강해서 이산성만을 허용한다. 따라서 범주론적 아르키메데스 개념을 보다 풍부하게 만들기 위해서는 추가적인 구조적 가정이 필요하다는 점을 강조한다.