세미그룹 코호몰로지를 파생함수로 구현하기: 0‑자유 모노이드의 차원 계산

본 논문은 세미그룹(또는 모노이드) S에 대한 기존 0‑코호몰로지 이론이 ‘0‑모듈’ 범주에서 파생함수(derived functor)로 작동하지 않는다는 근본적인 한계를 지적한다. 이를 극복하기 위해 저자는 Baues‑Wirshing이 제시한 소범주(cohomology of small categories) 이론을 차용하여, S의 비영 원소들을 객체로 하고 사상 (α, a, β) 로 정의되는 ‘분해 범주’ Fac S 를 만든다. 여기서 사상은 α·a·β = b 를 만족하는 삼중쌍이며, 합성은 (α′,β′)·(α,β) = (α′α, ββ′) 로 정의된다. ‘자연계’는 Functor D: Fac S → Ab 로서, 각 객체 a에 아벨군 D_a를, 각 사상 (α,β)에 동형 D(α,β)=α^* β^* 를 할당한다. Nat S = Ab^{Fac S} 은 충분한 사영·주입 객체를 갖는 아벨 범주이며, 여기서 Extⁿ_{Nat S}(Z, –) 를 정의할 수 있다. Z는 각 a에 무한 순환군 ⟨