일방향 통신 복잡도에 대한 새로운 고전·양자 경계

초록

이 논문은 일방향 모델에서 고전 및 양자 통신 복잡도에 대한 새로운 상·하한을 제시한다. 고전적인 경우, 비곱분포에 대해 상호정보와 VC 차원을 결합한 O((I(X∶Y)+1)·VC(f)) 형태의 상한을 얻으며, 비불리언 함수에 대해서는 의사‑차원(pseudo‑dimension)을 이용한다. 양자 경우에는 곱분포 하에서 직사각형(부패) 경계와 양자 일방향 복잡도 사이에 Ω(recε(f))의 하한 관계를 증명한다. 또한, 이러한 결과를 추출기 보안 등에 적용한다.

상세 분석

논문은 먼저 기존의 Kremer‑Nisan‑Ron(KNR) 정리인 “D₁,μ^ε(f)=O(VC(f))”가 곱분포에만 적용된다는 점을 지적한다. 비곱분포 μ에 대해 입력 변수 X와 Y 사이의 상호정보 I(X∶Y) 를 도입함으로써, 서로 의존적인 입력에서도 VC 차원만큼의 정보를 효율적으로 압축할 수 있음을 보인다. 구체적으로, 임의의 비곱분포 μ에 대해 D₁,μ^ε(f) ≤ κ·(I(X∶Y)+1)·VC(f) (상수 κ와 ε는 고정) 라는 식을 증명한다. 이는 Yao의 원리와 결합하면, “공공 코인 랜덤화 복잡도 R₁,pub(f)=O((I+1)·VC)”라는 새로운 전역 상한을 얻는다. 여기서 I는 최악의 hard distribution에 대한 상호정보이며, I≤log|Y|이므로 기존의 D₁(f)=O(VC·log|Y|)보다 강력하다. 특히, IPₙ 같은 경우 I=0이므로 R₁,pub(IPₙ)=O(VC(IPₙ))=O(1)이라는 비직관적 결과를 도출한다.

비불리언 함수 f:X×Y→