주기적 토다 격자에 대한 전역 작용‑각 변수 구축

본 연구는 주기적 토다 격자(주기 N≥2)를 대상으로 전역적인 작용‑각 변수 체계를 구축한다. 토다 격자는 입자 위치 qₙ와 운동량 pₙ로 기술되며, 비표준 포아송 구조 J와 해밀토니안 H_Toda를 통해 Hamiltonian 시스템으로 표현된다. J는 행렬 A에 의해 정의되며, 그 랭크가 N‑1이므로 두 개의 카시미르 보존량 C₁(평균 위치)와 C₂(평균 동작량)가 존재한다. 이 두 카시미르는 서로 독립적이며, 위상공간 M=ℝᴺ×ℝ₊ᴺ을 코다임 차원 2의 시냅틱 리프 M_{β,α} (β∈ℝ, α>0)로 분해한다. 각 리프는 J가 비퇴화되지 않아 자연스럽게 심플렉틱 구조 ν_{β,α}를 갖는다. 논문의 핵심은 N‑1개의 실해석적 작용 변수 Iₙ (n=1,…,N‑1)를 정의하고, 이들이 서로 교환하며 H와 C₁, C₂와도 교환함을 증명하는 것이다. 작용 변수는 스펙트럼 갭 γₙ=λ_{2n+1}−λ_{2n}와 연관된 적분 형태로 주어지며, 여기서 λ_j는 주기적 Jacobi 행렬 L(b,a)의 고유값이다. 구체적으로, Iₙ는 \