예산 형식화의 새로운 접근

초록

본 논문은 예산을 수학적 객체로 다루기 위해 유리수 기반의 대수적 모델을 제안한다. 튜플리컬러스(tuplix calculus)를 활용해 예산 항목과 제약을 형식화하고, 전체화(zero‑totalized) 유리수 체계를 도입해 나눗셈 오류를 체계적으로 처리한다. 대학 석사 프로그램 예산 사례를 통해 모델의 적용 가능성을 보여준다.

상세 분석

논문은 먼저 현대 조직에서 예산 설계와 회계가 복잡한 IT 시스템에 의존하면서도 이론적 기반이 부족함을 지적한다. 이를 해결하기 위해 저자는 “예산”을 순수한 수학적 구조로 정의하고, 소프트웨어 공학에서 사용되는 프로세스 대수와 추상 데이터 타입의 개념을 차용한다. 핵심은 유리수 체계를 “meadow”라 부르는 전체화된 필드로 모델링하는데, 이는 0으로 나누는 연산을 정의된 값(예: 0)으로 강제함으로써 부분함수의 복잡성을 회피한다. 이러한 선택은 오류 탐지 메커니즘을 단순화하고, 형식 검증을 위한 타입‑체크를 가능하게 한다.

예산 자체는 “튜플리”(tuplix)라는 속성‑값 쌍의 집합으로 표현된다. 속성은 거래 채널을, 값은 금액을 나타내며, 양수는 지급, 음수는 수령을 의미한다. 예산 조합 연산 ‘⊕’는 교환법칙·결합법칙을 만족하는 결합 연산으로 정의되고, 두 특수 원소 ε(빈 예산)와 δ(무효 예산)를 도입해 연산의 항등원과 소멸원을 제공한다. 동일 속성의 항목은 금액을 합산해 하나의 항목으로 축소될 수 있어, 예산 내에서 자동 정산 메커니즘을 구현한다.

조건 검증은 γ(p) 형태의 “제로 테스트”로 구현된다. p가 0이면 테스트는 사라지고, 0이 아니면 전체 예산을 무효(δ)로 만든다. 이는 p = q와 같은 등식 검증을 γ(p‑q)로, 부등식 검증을 절대값 연산 |·|와 결합해 표현할 수 있게 한다. 또한 γ(p) ⊕ γ(q) = γ(p/p + q/q)와 같은 합성 규칙을 통해 복합 제약을 단일 테스트로 축소한다.

캡슐화 연산 ∂H는 지정된 속성 집합 H에 대해 해당 항목들의 총합이 0이면 항목들을 제거하고, 0이 아니면 전체 예산을 δ로 만든다. 이는 회계상의 “상계” 과정을 형식화한 것으로, 여러 채널 간의 지급·수령을 자동으로 정리한다. 캡슐화는 집합 합성 ∂{H∪H’} = ∂H ∘ ∂{H’} 로 분해 가능해 복잡한 다중 채널 정산을 단계적으로 수행할 수 있다.

사례 연구에서는 대학 석사 프로그램 A, B, C의 연간 예산을 정의하고, 각 프로그램이 공유하는 인프라(예: 강의실, 행정 지원) 비용을 채널 b를 통해 상계한다. 예산 P와 Q를 조합한 뒤 ∂_{b}를 적용하면 b 채널의 지급·수령이 소멸하고, 최종 예산은 a와 c 채널만 남는다. 이를 통해 모델이 실제 예산 조정, 비용 배분, 그리고 제약 검증에 어떻게 활용될 수 있는지를 시연한다.

전체적으로 이 논문은 예산을 형식 언어와 대수 구조로 추상화함으로써, 기존의 경험적·문서 기반 예산 관리에서 발생하는 모호성, 오류 전파, 검증 부재 문제를 이론적으로 해결하고자 한다. 전체화된 유리수 체계와 튜플리 연산은 자동화된 도구 구현을 위한 견고한 수학적 기반을 제공한다는 점에서 의의가 크다.