Ehrhart 다항식 계수의 하한

초록

본 논문은 볼록 격자 다각형의 Ehrhart 다항식 계수를 부피와 연결짓는 새로운 하한을 제시한다. 또한 내부 격자점이 없는 격자 다각형에 대해 Hibi가 제시한 Ehrhart 급수 계수의 하한이 일반적으로 성립하지 않음을 반례를 통해 보여준다. 반례는 두 격자 다각형의 조인(join)에서 얻은 Ehrhart 급수 공식에 기반한다. 마지막으로 정수 배율에 대한 Ehrhart 급수를 계산하는 일반식도 제공한다.

상세 분석

Ehrhart 다항식은 정수 격자점이 포함된 볼록 다각형 (P\subset\mathbb{R}^d)에 대해 (L_P(k)=#(kP\cap\mathbb{Z}^d)) 로 정의되며, 이는 차수가 (d)인 다항식으로 전개된다. 기존 연구에서는 주로 상한(예: Pick 정리의 고차원 일반화)이나 계수들의 부호·대칭성에 초점을 맞추었지만, 하한에 관한 체계적인 결과는 부족했다. 저자들은 부피 (\operatorname{vol}(P))와 직접적인 관계를 갖는 하한을 도출함으로써 이 공백을 메운다. 구체적으로, (L_P(k)=\sum_{i=0}^d c_i k^i) 라고 할 때, 모든 (i\ge 1) 에 대해
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