복소수 기반 수 체계의 새로운 패밀리와 응용

초록

본 논문은 복소수 진법을 이용한 ‘proper’ 시스템을 정의한다. 주기성을 핵심 조건으로 삼아 평면을 헥사곤형 프랙털 타일로 주기적으로 덮으며, 정수부는 격자, 분수부는 IFS(Iterated Function System) 흡인자를 통해 표현한다. 이러한 구조는 거의 모든 점에 대해 유일한 표현을 보장하고, 경계 차원·볼록 껍질 등을 해석적으로 구할 수 있다. 또한 3차원으로의 일반화와 이미지 압축 등 실용적 응용 가능성을 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 복소수 β∈ℂ, |β|>1을 진법으로 삼는 전통적인 복소수 진법 체계의 한계를 짚는다. 기존 연구에서는 β가 특정 대수적 성질을 만족할 때만 유일한 표현이 보장되었지만, ‘proper’라는 새로운 개념을 도입함으로써 이러한 제약을 크게 완화한다. ‘proper’는 두 가지 핵심 조건으로 정의된다. 첫째, 정수부가 ℤ