다중셀 무선통신에서 하드 공정성 대 비례 공정성

본 논문은 무한히 연속된 1차원 셀 배열을 갖는 uplink 셀룰러 시스템을 대상으로, 두 가지 전송 스케줄링 정책인 하드 공정성(Hard Fairness, HF)과 비례 공정성(Proportional Fair Scheduling, PFS)의 성능을 정량적으로 비교한다. 시스템 모델은 각 셀에 K명의 사용자와 M개의 평탄 서브채널을 두고, 사용자는 거리 의존적인 경로 손실 s와 레일리 페이딩 f를 곱한 채널 이득 g = s·f 로 표현한다. 경로 손실은 최소 거리 δ를 두어 발산을 방지하고, 사용자는 셀 내에서 균등하게 배치된다. 인접 셀에서 발생하는 간섭은 모든 사용자의 전송 전력을 합산한 형태로 모델링되며, Gaussian 잡음과 동일하게 처리한다. 하드 공정성 시스템은 모든 사용자가 매 전송 블록마다 동일한 고정 레이트 R_k를 요구한다. 이를 만족하기 위해 각 사용자는 채널 상태에 따라 전력 E_{mk}를 조절하고, 수신 측에서는 채널 이득 순서에 따라 슈퍼포지션 코딩과 연속적 디코딩을 적용한다. 최적 전력 할당은 (8)식에 의해 역함수 형태로 구해지며, 전체 시스템의 (E_b/N_0)_sys는 (9)식의 목적함수를 최소화함으로써 결정된다. 이때 인터셀 간 간섭 I_m(n)도 각 셀의 전력 할당에 의존하므로, 최적화 문제는 다중 셀 간 상호 의존성을 포함한다. 반면 비례 공정성 스케줄링은 각 사용자의 장기 평균 스루풋 T_k를 추적하면서, 매 슬롯마다 “즉시 비율” = T_k^{-1}·log(1+SINR) 를 최대화하는 사용자를 선택한다(11식). 이 방식은 채널이 좋은 사용자를 우선적으로 할당함으로써 다중 사용자 다이버시티 효과를 얻는다. K가 무한대로 커지면, 최적 사용자 선택에 의해 평균 SINR이 무한히 커지므로 스펙트럼 효율 C는 제한 없이 증가한다. 핵심 이론적 결과는 두 가지이다. 첫째, 무한 사용자(K→∞) 한계에서 HF 시스템의 최소 (E_b/N_0)_sys는 (13)식으로 주어지며, 이는 단일 셀 경우(12식)보다 항상 크게 된다. 이는 인터셀 간 간섭이 시스템을 ‘interference‑limited’ 상태로 만든다. C가 작을 때는 간섭이 무시될 수 있어 두 경우가 수렴하지만, C가 증가하면 (E_b/N_0)_sys는 급격히 상승하고, 특정 C_0에서 수식의 분모가 0이 되어 더 이상 지원 불가능한 한계에 도달한다. C_0는 (15)식에 의해 정의되며, M과 경로 손실 지수 α에 따라 달라진다. 예를 들어 M=10, α=2인 경우 C_0≈4.2 bit/s/Hz, M=20인 경우 C_0≈4.73 bit/s/Hz이다. 둘째, 기존 연구에서 흔히 쓰이는 “간섭 전력 = β·전체 전송 전력” 모델을 엄밀히 검증한다. 간섭 비례 상수 β는 (20)식으로 정의되며, 이는 경로 손실 함수 Φ(s)와 Riemann ζ 함수에 의해 결정된다. α=2인 경우 β는 약 2·D^{-2}~5·D^{-2} 사이에 존재한다. 따라서 간단한 모델이 실제 무한 셀 구조를 충분히 근사함을 수학적으로 입증한다. 또한 논문은 부분 재사용(partial reuse) 전략을 제안한다. 셀을 시간·주파수적으로 나누어 일부 서브채널만 인접 셀에서 동시에 사용하도록 하면, HF 시스템의 고SNR 영역에서 발생하는 인터셀 간 간섭을 크게 감소시켜 C_0에 가까운 스펙트럼 효율을 달성할 수 있다. 시뮬레이션 결과는 부분 재사용이 특히 고SNR에서 HF의 성능 저하를 크게 완화함을 보여준다. 결론적으로, HF와 PFS 사이의 근본적인 트레이드오프는 다중 셀 환경에서 명확히 규명된다. HF는 고정 레이트를 보장하지만 인터셀 간 간섭으로 인해 고SNR에서 효율이 제한된다. 반면 PFS는 다중 사용자 다이버시티를 활용해 무한히 높은 스펙트럼 효율을 달성하지만, 레이턴시와 공정성 측면에서 복잡도가 증가한다. 시스템 설계자는 서비스 요구사항(음성·실시간 vs. 데이터·비실시간), 사용자 수 K, 채널 다이버시티 M, 그리고 허용 가능한 복잡도 등을 고려해 적절한 스케줄링 정책과 재사용 전략을 선택해야 한다. 이 연구는 이러한 선택을 위한 정량적 근거와 간섭 모델링에 대한 정확한 파라미터 β를 제공함으로써, 차세대 셀룰러 네트워크 설계에 실질적인 가이드를 제시한다.