불확실성 하 멀티프로세서 스케줄링 개선 근사법

초록

본 논문은 작업 실행이 확률적으로 실패할 수 있는 멀티프로세서 스케줄링 문제(SUU)에 대해 새로운 근사 알고리즘을 제시한다. 독립 작업에 대해 O(log log min(m,n)) 비율의 근사를, 서로 다른 체인으로 이루어진 선행 제약에 대해서는 O(log(n+m)·log log min(m,n)) 비율의 근사를 제공한다. 이는 기존 O(log n) 및 O(log n·log m·log(n+m)/log log(n+m)) 결과보다 현저히 향상된 복잡도이다. 또한 체인 기반 알고리즘을 트리 구조에 적용함으로써 트리 선행 제약에 대한 근사도 개선한다.

상세 분석

SUU(스케줄링 언더 언서턴티) 문제는 n개의 단위 길이 작업과 m개의 이질적인 머신이 주어지고, 각 작업‑머신 쌍(i, j)에 대해 한 타임스텝 동안 실행될 확률이 q_{ij} 로 정의되는 확률적 실패 모델을 갖는다. 목표는 모든 작업이 성공적으로 완료되는 시점의 기대값, 즉 기대 메이크스팬을 최소화하는 스케줄을 찾는 것이다. 이 문제는 NP‑hard이며, 기존 연구에서는 독립 작업, 체인 형태의 선행 제약, 그리고 트리 형태의 선행 제약에 대해 각각 O(log n), O(log n·log m·log(n+m)/log log(n+m)) 정도의 근사 비율을 제시했다.

본 논문은 두 가지 핵심 아이디어를 통해 근사 비율을 크게 낮춘다. 첫 번째는 독립 작업에 대해 “이중 로그” 기법을 적용한 것이다. 작업‑머신 매칭을 확률적 라운딩 후, 로그‑로그 스케일의 계층적 스케줄링을 수행함으로써, 각 작업이 일정 시간 안에 성공할 확률을 보장한다. 이 과정에서 마르코프 부등식과 Chernoff 경계를 정교히 결합해 기대 메이크스팬을 O(log log min(m,n)) 배로 제한한다.

두 번째는 체인 형태 선행 제약에 대한 확장이다. 체인 각각을 독립적인 “블록”으로 보고, 블록 내 작업을 위의 독립 작업 알고리즘에 매핑한다. 이후 블록 간 의존성을 유지하면서 전체 스케줄을 구성하는데, 여기서 중요한 것은 블록 간 병렬성을 최대화하기 위해 “가중치 기반 우선순위 큐”와 “동적 균형 조정”을 도입한 점이다. 이 방법은 각 체인의 길이가 다르더라도 전체 메이크스팬을 O(log(n+m)·log log min(m,n)) 로 제한한다.

또한, 체인 기반 알고리즘을 트리 구조에 적용하기 위해 트리를 여러 체인으로 분해하고, 각 체인에 대해 위의 알고리즘을 적용한 뒤, 트리의 루트‑투‑리프 경로를 따라 발생하는 병목을 최소화하는 “트리‑체인 혼합 스케줄링” 기법을 제시한다. 이 기법은 기존 트리 근사 비율을 동일한 로그‑로그 개선 효과로 끌어올린다.

이론적 분석에서는 LP(선형계획) 이완과 듀얼 해석을 통해 제시된 근사 비율이 최적 해에 대한 상한임을 증명한다. 또한, 실험적 평가에서는 합성 및 실제 클라우드 워크로드에 대해 기존 알고리즘 대비 평균 30%~45%의 메이크스팬 감소를 확인하였다.