Gaussian Process 메타모델을 이용한 Sobol 지수 계산

본 논문은 복잡하고 계산 비용이 높은 컴퓨터 시뮬레이션 모델에 대해 전역 민감도 분석을 수행할 때, Sobol 지수를 효율적으로 추정하는 방법을 제시한다. 전통적인 Sobol 지수 계산은 입력 변수들의 전체 분포에 대해 다수의 모델 실행을 필요로 하는 Monte‑Carlo 방식에 의존한다. 이는 고가의 시뮬레이션 코드에 적용하기 어렵다. 이를 해결하기 위해 저자들은 메타모델, 특히 Gaussian Process(GP) 모델을 사용한다. GP는 평균 함수 f(x)와 공분산 함수 σ²R(x,u)로 구성된 확률 과정이며, 회귀 부분과 잔차(확률) 부분을 명시적으로 구분한다. 논문은 GP를 이용한 Sobol 지수 추정을 두 가지 접근법으로 나눈다. 첫 번째 접근법(Approach 1)은 GP의 조건부 평균, 즉 Kriging 예측값만을 사용한다. 이 경우 Sobol 지수는 기존 deterministic 함수에 대한 정의와 동일하게 계산되며, Chen 등(2004)의 텐서곱 기반 식을 그대로 적용한다. 그러나 이 방법은 GP 모델 자체의 불확실성을 반영하지 못한다. 두 번째 접근법(Approach 2)은 GP 전체 확률 모델을 활용한다. 여기서는 Sobol 지수를 확률 변수 \tilde S_i(ω)로 정의하고, 그 기대값 μ̃S_i와 분산 σ̃²S_i를 구한다. 기대값은 실제 Sobol 지수의 점 추정치가 되고, 분산은 추정 오차를 정량화한다. 이를 위해 전체 GP의 평균과 공분산을 모두 포함한 식을 전개하고, 입력 변수 독립성을 가정하여 적분 차원을 1‑차원(분자) 및 2‑차원(분모)으로 축소한다. 이러한 수학적 변환은 계산 복잡도를 크게 낮추면서도 정확한 결과를 제공한다. GP 파라미터(β, θ, p, σ²)의 추정은 최대우도법을 사용한다. 고차원 입력 공간에서 전역 최적화가 어려운 문제를 해결하기 위해, 저자들은 순차적 DA‑CE 알고리즘을 도입한다. 이 알고리즘은 입력 변수를 단계적으로 추가하면서 파라미터를 추정함으로써, 복잡한 모델에서도 안정적인 추정이 가능하도록 설계되었다. 수치 실험에서는 여러 분석 함수(예: Ishigami, Sobol‑g‑function 등)를 대상으로 두 접근법을 비교한다. 결과는 Approach 2가 샘플 수가 적을 때도 빠르게 수렴하고, 추정값의 변동성이 작아 견고함을 보여준다. 특히, 전체 GP를 이용함으로써 모델링 오차를 직접 반영한 신뢰구간을 제공할 수 있음을 확인한다. 마지막으로, 실제 수문학적 사례(지하수 흐름‑확산 모델)에 적용하여, 입력 변수(투수성, 초기 조건 등)의 Sobol 지수와 그 신뢰구간을 동시에 제공한다. 이 사례는 메타모델 기반 민감도 분석이 실제 환경 모델링에서 어떻게 활용될 수 있는지를 실증한다. 결론적으로, 논문은 (1) GP 전체 모델을 이용한 Sobol 지수의 확률적 정의, (2) 기대값·분산을 통한 불확실성 정량화, (3) 고차원 파라미터 추정을 위한 순차적 DA‑CE 알고리즘, (4) 실제 사례 적용을 통한 실용성 입증이라는 네 가지 주요 기여를 제시한다. 특히, 모델링 불확실성을 정량화한 신뢰구간 제공은 기존 메타모델 기반 민감도 분석에서 크게 결핍된 부분을 보완하며, 위험 평가 및 의사결정 과정에서 중요한 도구로 활용될 전망이다.