희소 데이터 빠른 컨볼루션을 위한 결정적 길이 축소 기법 개선

본 논문은 희소 데이터 환경에서 두 벡터 V₁(N₁)와 V₂(N₂)의 컨볼루션을 효율적으로 수행하기 위한 새로운 결정적 길이 축소 기법을 제시한다. 기존 연구(Li & Rubinfeld 2007 등)는 비영 원소가 n₁개인 V₁에 대해 사전 처리 O(n₁²)와 함께, O(log n₁)개의 해시 함수를 이용해 길이를 O(n₁ log n₁)으로 축소하고, FFT 기반 컨볼루션을 O(n₁ log³ n₁) 시간에 수행했다. 그러나 이 방법은 다중 매핑(여러 비영 원소가 동일 위치에 겹치는 경우)으로 인한 오류 가능성을 완전히 없애지 못했고, 실행 시간도 로그 차원에서 뒤처졌다. 본 연구는 이러한 한계를 극복하기 위해 인덱스를 다항식 형태로 변환하고, 각 다항식에 대해 2ᶜ개의 변형을 생성한다. 여기서 c는 (q‑1)² 기반 진법에서 나타나는 최대 자리수이며, q는 Θ(n₁) 크기의 소수이다. 변형 과정은 “계수를 그대로 두거나 (q‑1)²를 더하고 상위 차수의 계수를 1 감소”하는 규칙을 적용해, 모든 가능한 자리수 합을 포괄한다. 결과적으로 각 비영 인덱스 i는 2ᶜ개의 다항식 집합 {B_i^{(k)}}에 매핑된다. 다음 단계에서는 이 다항식 집합을 행렬 A에 배치한다. 행은 소수 필드 F_q 위의 할당값 a₁,…,a_m (m=O(log n₁))을, 열은 전체 2ᶜ·n₁개의 다항식을 나타낸다. A