포크조인 네트워크 동기화기 모델 및 성능 한계 분석

본 연구는 병렬 처리 시스템에서 흔히 나타나는 포크‑조인(Fork‑Join) 구조를 대상으로, 두 개의 독립적인 처리 경로(a와 b)에서 발생하는 마크된 작업쌍을 결합하는 전용 노드, 즉 동기화기(synchronizer)의 동작 모델을 제시한다. 기존 문헌에서는 주로 전체 시스템의 대기시간이나 처리량에 초점을 맞추었으나, 동기화기 자체의 내부 대기 현상과 그 통계적 특성에 대한 체계적인 분석은 부족했다. 이를 보완하기 위해 저자는 다음과 같은 가정을 설정한다. 1. 외부에서 들어오는 작업쌍은 포아송 과정(도착률 λ)으로 모델링된다. 2. 각 분기(a, b)는 M/M/N 큐로, 서비스율은 각각 μ_a, μ_b이며 서버 수는 N_a, N_b이다. 3. 시스템이 안정되기 위한 조건 ψ_a = λ/(N_a μ_a) < 1, ψ_b = λ/(N_b μ_b) < 1을 만족한다. 동기화기 내부 상태는 (q_a, q_b)라는 2차원 마코프 체인으로 정의된다. 여기서 q_a는 a에서 아직 매칭되지 않은 작업 수, q_b는 b에서 아직 매칭되지 않은 작업 수를 의미한다. 전이율은 다음과 같다. - 새로운 작업쌍이 도착하면 (q_a, q_b) → (q_a+1, q_b+1)로 전이한다. - a에서 작업이 서비스 완료되면 (q_a, q_b) → (q_a−1, q_b) (단, q_a>0)로 전이한다. - b에서 작업이 서비스 완료되면 (q_a, q_b) → (q_a, q_b−1) (단, q_b>0)로 전이한다. 이러한 전이 규칙을 바탕으로 평형 방정식은 네 가지 경우( q_a=0, q_b=0, q_a>0, q_b>0 등)로 구분되어 식 (4)에 제시된다. 이를 통해 각 상태의 평형 확률 P(q_a, q_b) 를 구하고, 전체 대기 작업 수 K = q_a + q_b 의 확률분포와 평균값 E