코체인 DG 대수의 동차성 및 차원 이론

이 논문은 단순 연결된 코체인 차등그레이드(DG) 대수에 대한 동차성 및 차원 이론을 전개한다. 저자들은 이전에 로컬 체인 DG 대수(예: 경로 연결된 위상군의 singular chain 복합체)에서 증명된 진폭 부등식(Amplitude Inequality), Auslander‑Buchsbaum 등식, Bass 수의 Gap 정리를 “looking‑glass principle”에 따라 코체인 DG 대수(예: 단순 연결된 위상공간의 singular cochain 복합체)로 거울 전이한다. 먼저, R을 k-필드 위의 단순 연결 코체인 DG 대수로 설정한다. R₀=k, R₁=0, H₀(R)=k이며, 각 차수의 코호몰로지 차원은 유한한다. DG 모듈들의 파생 범주 D(R)와 그 하위 범주 D⁺(R), D⁻(R), 그리고 컴팩트 모듈 범주 Dᶜ(R)을 정의하고, inf, sup, amp와 같은 차원 개념을 도입한다. Lemma 1.4는 D⁺(R) 내의 모듈에 대해 semi‑free 해석을 제공하며, Lemma 1.5와 1.6은 텐서 곱의 inf가 모듈들의 inf 합과 일치함을, 그리고 p‑cd(프로젝트 코차원)가 Betti 수의 최댓값과 동일함을 증명한다. 핵심적인 Construction 2.2는 임의의 비영 모듈 M∈D⁺(R)의 inf를 i라 두고, Σ^{−i}R의 직접합을 차례로 붙여가며 M을 단계적으로 근사한다. 이 과정에서 일련의 distinguished triangle이 생성되고, 각 단계에서 β_j(M)=dim_k H_j(k⊗_R M)라는 Betti 수가 유지된다. Proposition 2.3은 M이 컴팩트이면 로컬리 유한하고 p‑cd가 유한함을, 반대로 p‑cd가 유한하면 M이 컴팩트임을 보여준다. 이는 코체인 DG 대수에서 “프로젝트 코차원”이 컴팩트성의 정확한 측정임을 의미한다. 다음으로, k-선형 동형사상 F가 coproduct를 보존하는 경우에 대해 파워 시리즈 f_M(t)=∑_ℓ dim_k F(Σ^ℓ M) t^ℓ을 정의한다. Lemma 3.4는 시프트와 직접합에 대한 기본 성질을, 그리고 삼각형에 대한 term‑wise 부등식 f_M(t) ≤ f_{M'}(t)+f_{M''}(t) 를 제공한다. 이를 바탕으로 Proposition 3.5와 3.6은 Construction 2.2에서 얻은 일련의 삼각형을 차례로 적용해, f_M(t)와 f_R(t) 사이에 구체적인 부등식 \