이진 소수 역수와 카크 추측 검증 및 암호 응용

초록

본 논문은 1 백만 이하의 소수에 대해 이진(및 삼진) 역수 전개에서 0이 1보다 더 많이 나타나는 카크의 추측을 실험적으로 검증한다. 19 888개의 소수에서 0이 우세하고 3 059개에서 1이 우세했으며, 이는 0이 우세할 확률이 약 25 %임을 보여준다. 또한 이러한 비대칭성을 암호 프로토콜에서 확률적 이벤트 생성에 활용할 가능성을 논의한다.

상세 분석

이 논문은 25년 전 카크가 제시한 “소수의 이진 역수 전개에서 0이 1보다 더 많이 나타난다”는 경험적 추측을 1 백만 이하의 모든 소수에 대해 재검증한다. 기본 아이디어는 소수 p에 대해 1/p를 2진법으로 전개하면 무한 반복되는 d‑시퀀스가 생성되며, 이 시퀀스의 0·1 비율을 통계적으로 조사한다는 것이다. 저자는 먼저 기존 연구가 5 471 이하의 소수에 한정됐던 점을 지적하고, 이를 1 백만까지 확대함으로써 표본 크기를 약 180배 늘렸다.

실험 방법은 간단하지만 정확하다. p를 소수로 잡고 a(i)=2^i mod p mod 2 를 계산해 순차적으로 비트열을 만든다. 이 비트열을 전체 주기(즉, 최소공배수인 p‑1)까지 확장한 뒤 0과 1의 개수를 셈으로써 비대칭 정도를 측정한다. 동일한 절차를 3진법(기반 3)에도 적용해 0,1,2의 비율을 비교한다.

결과는 표와 그래프로 명확히 제시된다. 7 ~ 999 983 사이의 78 498개 소수 중 0이 1보다 많은 경우는 19 888개(25.36 %), 1이 더 많은 경우는 3 059개(3.9 %), 0과 1이 동등한 경우는 55 544개(70.74 %)였다. 비등장 경우를 제외한 비대칭 시퀀스는 전체의 약 46.7 %에 해당한다. 특히 65 535 이하 구간을 상세히 분석한 그림 1·2에서는 0이 우세한 경우가 압도적으로 많고, 1이 우세한 경우는 차이가 작아 통계적 편향이 뚜렷함을 보여준다.

삼진법 확장에서도 비슷한 경향이 관찰되었다. 그림 3·4는 0/1, 0/2 비율이 대부분 1보다 크게 나타나며, 일부 소수에서만 역전 현상이 발생한다는 점을 강조한다. 이는 이진 경우와 동일하게 “0이 우세”라는 현상이 베이스에 독립적인 구조적 특성일 가능성을 시사한다.

암호학적 논의에서는 이러한 비대칭성을 확률적 선택 메커니즘으로 활용할 수 있음을 제안한다. 예를 들어, 임의의 소수를 선택했을 때 1이 우세할 확률이 약 4 %이므로, 여러 소수를 독립적으로 선택해 조합하면 원하는 낮은 확률의 이벤트(예: 난수 생성, 토큰 발행)를 설계할 수 있다. 이는 전통적인 난수 생성기보다 구현이 간단하고, 소수 선택 자체가 이미 암호학적 안전성을 제공하므로 실용적이다. 다만, 현재는 경험적 증거에 의존하고 증명이 없으므로, 보안 프로토콜에 직접 적용하기 전에는 추가적인 수학적 검증이 필요하다.

한계점으로는 1 백만 이하의 소수만 조사했으며, 더 큰 소수(예: 10 억 이상)에서는 패턴이 유지되는지 불확실하다. 또한, 주기 길이가 짧은 소수(특히 메르센 소수)에서는 0과 1이 크게 불균형일 수 있는데, 이는 암호 설계 시 부작용이 될 수도 있다. 향후 연구에서는 증명 가능성, 더 넓은 범위의 소수, 그리고 비대칭성을 이용한 구체적 프로토콜 설계 등을 다루어야 할 것이다.