확률 변동성 모델의 비모수 추정 방법

초록

이 논문은 관측된 주가 과정 (X_{ℓ\delta}) 로부터 보이지 않는 변동성 과정 (V_t) 의 drift와 diffusion 계수를 비모수 최소제곱 추정기로 추정한다. 제한된 차원 함수공간에서 후보를 선택하고, 데이터 기반 모델 선택 절차를 통해 차원을 자동 결정한다. 위험(bound) 이론을 제공하고, 시뮬레이션을 통해 실효성을 검증한다.

상세 분석

본 연구는 연속시간 확률 미분방정식 (dX_t=\sqrt{V_t},dB_t) 를 기반으로, 이산시간 표본 ({X_{ℓ\delta}}{ℓ=1}^{n+1}) 만을 이용해 미관측 확률 과정 (V_t) 의 동적 구조를 복원하고자 한다. (V_t) 는 양의 확산 과정이며, (B_t) 와 독립적이라는 가정 하에, (V_t) 의 drift (b(\cdot)) 와 diffusion (\sigma(\cdot)) 를 각각 비모수 함수로 모델링한다. 저자들은 먼저 (V_t) 를 직접 관측할 수 없으므로, (X) 의 증분 (\Delta X{ℓ}=X_{(ℓ+1)\delta}-X_{ℓ\delta}) 를 이용해 (V_{ℓ\delta}) 의 근사값 (\widehat V_{ℓ\delta}=\frac{(\Delta X_{ℓ})^2}{\delta}) 를 정의한다. 이 추정량은 Itô 계산에 의해 평균적으로 (V_{ℓ\delta}) 를 대변한다는 점에서 핵심 전제이다.

그 다음, (b) 와 (\sigma^2) 를 각각 최소제곱 기준으로 추정한다. 구체적으로, (b) 에 대해서는 관측된 (\widehat V_{ℓ\delta}) 와 (\widehat V_{(ℓ+1)\delta}) 사이의 차이 (\Delta \widehat V_{ℓ}= \widehat V_{(ℓ+1)\delta}-\widehat V_{ℓ\delta}) 를 사용해 \