디폴트 위험과 변동성 연계 주식 옵션 가격 근사

초록

본 논문은 주식의 디폴트 위험과 확률적 변동성을 동시에 고려한 옵션 가격 근사식을 제시한다. 디폴트 강도(위험 중립 하자드율)를 변동성에 의존하도록 모델링하고, 이를 통해 옵션 가격으로부터 위험 중립 디폴트 강도를 추정할 수 있음을 보인다. 파생된 옵션 가격 근사는 풍부한 내재 변동성 표면을 생성하며, 기업이 발행한 채권의 효과적 하자드율을 이용해 동일 기업 옵션의 변동성 스큐를 설명한다. 실증적 캘리브레이션 결과는 제안 모델이 시장 데이터에 잘 맞는다는 것을 확인한다.

상세 분석

이 연구는 기존의 디폴트 위험을 단순히 고정된 강도로 가정하는 모델을 넘어, 주식 가격의 확률적 변동성(V_t)과 디폴트 강도(λ_t)가 상호 의존한다는 가정을 도입한다. 구체적으로 주식 가격 S_t는 위험 중립 측면에서 dS_t = (r‑λ_t)S_t dt + √V_t S_t dW_t^S 로 기술되며, 디폴트 발생 시 S_t는 0으로 급락한다. 변동성 V_t는 Heston‑type 과정 dV_t = κ(θ‑V_t)dt + σ√V_t dW_t^V 로 설정하고, 두 위너 과정 W^S와 W^V는 상관계수 ρ를 가진다. 디폴트 강도 λ_t는 λ(V_t)=a+bV_t 형태의 선형 함수 혹은 보다 일반적인 함수형태로 지정되어, 변동성이 상승하면 디폴트 위험도 증가한다는 직관을 반영한다.

논문은 이 복합 확률 미분 방정식 시스템에 대해 다중 스케일 확장법(perturbation expansion)을 적용한다. 먼저 변동성의 평균 회귀 속도 κ가 큰 경우를 가정하고, 빠른 변동성 평균화와 느린 디폴트 강도 변화를 분리한다. 이를 통해 옵션 가격을 무위험 블랙‑숄즈 가격에 대한 일련의 보정항으로 전개한다. 0차 항은 디폴트가 없는 경우의 Heston 옵션 가격이며, 1차 보정은 λ_t의 평균값과 변동성-디폴트 상관관계(ρ·b)로부터 유도된다. 이러한 근사는 폐쇄형 식으로 구현 가능해 실시간 가격 산출에 적합하다.

핵심 통찰은 두 가지이다. 첫째, 옵션 가격 자체에 내재된 정보로부터 위험 중립 디폴트 강도 λ^Q 를 역추정할 수 있다. 옵션 가격에 대한 민감도(그리스)를 이용해 λ^Q 의 추정값을 최소제곱법으로 도출하면, 시장이 기대하는 디폴트 위험을 직접 측정할 수 있다. 둘째, 채권 시장에서 추정된 실제 하자드율(실제 위험 중립이 아닌 실물 위험)과 옵션에서 추정된 λ^Q 가 높은 상관관계를 보이며, 특히 스큐(기울기) 설명에 큰 역할을 한다는 점이다. 이는 옵션 시장이 기업의 신용 위험을 반영한다는 기존 이론을 실증적으로 뒷받침한다.

모델의 한계도 명시된다. λ_t 를 변동성에만 의존하도록 한 단순화는 신용 스프레드가 거시경제 요인이나 기업의 재무 구조와도 연관될 수 있다는 점을 간과한다. 또한, 고차 보정항을 무시하면 극단적인 변동성 구간에서 오차가 커질 수 있다. 향후 연구에서는 다변량 신용 요인과 점프‑디퓨전 구조를 결합하거나, 변동성 자체에 대한 레버리지 효과를 포함하는 확장 모델을 제안한다.