시간 자동화 이론의 불가능성: 결정 불가능 문제들의 종합

초록

본 논문은 타임드 오토마타에 대한 여러 기본적인 결정 문제들을 조사한다. 결정 가능성, 보완 언어의 정규성, 클록 수 최소화, 셔플 연산의 닫힘성 등을 다루며, 이들 문제 대부분이 결정 불가능함을 보인다. 또한 무한 타임드 워드에 대한 타임드 부치 자동자에서는 이러한 문제들이 Π¹₁‑hard 수준까지 상승한다는 결과를 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 타임드 오토마타(TA)의 기본 정의와 결정적 TA의 특성을 재정리한다. 기존에 알려진 바와 같이 타임드 정규 언어는 보완에 대해 닫히지 않으며, 이는 무한한 클록을 필요로 하는 언어가 존재함을 의미한다. 저자는 이 사실을 이용해 결정 가능성 문제와 보완 정규성 문제를 동일한 형태의 언어 L과 그 보완 Lᶜ 로 변환한다. 구체적으로, 임의의 TA A에 대해 새로운 알파벳에 보조 문자 c를 추가하고, L₁ = L·(R×{c})·(R×Σ), L₂ = “c가 없거나 두 개 이상 존재하는 단어들의 집합”, L₃ = (R×Σ)·(R×{c})·A 로 구성된 언어 L = L₁∪L₂∪L₃ 를 만든다. L이 전체 언어와 동일하면 L과 Lᶜ 모두 결정적 TA로 인식 가능하지만, L이 전체 언어의 진부분집합이면 Lᶜ는 타임드 정규가 될 수 없다는 모순을 만든다. 이때 L이 전체인지 여부는 타임드 정규 언어의 보편성 문제에 귀착되며, 이는 알려진 결정 불가능 문제이므로 원래 질문도 결정 불가능함을 증명한다.

다음으로 클록 수 최소화 문제를 다룬다. 저자는 n개의 클록을 가진 언어 Aₙ을 정의하고, 이 언어를 인식하려면 최소 n개의 클록이 필요함을 기존 결과(