두 무작위 보행자의 경로 교차 확률 분석

본 연구는 2차원 평면의 제한된 영역 또는 구 표면 위에서 두 개의 무작위 보행자가 각각 고정된 거리 d₁, d₂를 이동하면서 방향을 균등하게 선택하는 상황을 분석한다. 초기 위치는 영역 R 안에서 균일하게 배치되며, 각 시간 단계마다 에이전트는 직선(또는 구면상의 대원)으로 이동한다. 경로 교차는 두 선분 V₁W₁과 V₂W₂가 교차하는 경우로 정의되며, 이는 ε‑거리 기반 정의보다 기하학적으로 명확하다. **모델 정의** - 평면: V₁W₁은 V₁에 거리 d₁, 각도 α₁을 곱해 만든 선분, V₂W₂도 동일하게 정의. 경계에서 벗어나면 반사 후 다시 영역 안으로 이동한다. - 구면: 반경 ρ인 구 위에서 V₁, V₂는 구면 좌표(θ,φ)로 표현되고, 각 에이전트는 대원 상에서 거리 d₁, d₂만큼 이동한다. 구면에는 경계가 없으므로 초기 균일 분포가 유지된다. **첫 단계 교차 확률** 가능 영역 FD(V₁,α₁)는 V₁W₁에 대해 거리 d₂ 이하인 모든 점들의 집합이다. V₂가 이 영역에 들어갈 확률 p₁은 FD와 R의 교집합 면적을 A