삼진 무제곱 무한열의 직접 정의와 자동성

초록

본 논문은 3진법으로 구성된 새로운 무제곱(infinite square‑free) 수열을 제시한다. 이 수열은 Thue‑Morse 수열과 유사하게 반복적(모르피즘) 정의와 직접적인 DFA‑O(출력 자동 기계) 정의 두 가지 방식으로 기술된다. 자동기계에 의해 생성되므로 자동수열(automatic sequence)임을 증명하고, 무제곱성에 대한 엄밀한 증명을 제공한다.

상세 분석

논문은 먼저 무제곱 수열(square‑free sequence)의 역사적 배경을 정리한다. Thue가 1906년에 2진수 알파벳으로 무제곱 수열을 구축한 이후, 무제곱성은 조합론, 형식 언어 이론, 그리고 암호학 등 다양한 분야에서 핵심적인 개념으로 자리 잡았다. 특히 3진법 알파벳에서 무제곱 수열을 구성하는 것이 가능하다는 점은 Thue의 결과와 일치하지만, 기존 연구들은 주로 재귀적(또는 교체 규칙) 정의에 의존했다. 본 논문은 이러한 전통적 접근을 넘어, 직접적인 결정적 유한 자동기계(DFAO)로 수열을 정의함으로써 자동수열(automatic sequence)이라는 강력한 구조적 특성을 부여한다.

구성 방법은 두 단계로 나뉜다. 첫 번째는 ‘반복적 정의’를 통해 무한히 긴 단어를 생성한다. 구체적으로, 초기 단어 w₀ = “0”을 시작으로, 모형 φ: {0,1,2} → {0,1,2}* 를 φ(0)=012, φ(1)=021, φ(2)=102 로 정의한다. φ를 반복 적용하면 wₙ₊₁ = φ(wₙ) 가 되고, n→∞ 일 때 얻어지는 극한 단어는 무제곱성을 유지한다. 저자는 φ가 ‘무제곱 보존(morphism)’임을 보이기 위해, φ가 각 문자에 대해 길이 3의 블록을 생성하고, 블록 간 접합부에서 발생할 수 있는 중복(‘xx’)을 철저히 검증한다. 특히, φ(0)·φ(1) = 012021 와 같이 서로 다른 블록이 겹치더라도, 그 접합부에서 두 번 연속된 동일 블록이 나타나지 않음을 수학적으로 증명한다.

두 번째는 ‘직접 정의’를 위한 DFAO 설계이다. 상태 집합 Q = {q₀, q₁, q₂, q₃} 로 구성하고, 입력은 n의 3진수 표현을 가장 낮은 자리수부터 읽는다(LSD‑first). 전이 함수 δ와 출력 함수 τ는 다음과 같이 정의된다.

• δ(q₀,0)=q₀, δ(q₀,1)=q₁, δ(q₀,2)=q₂
• δ(q₁,0)=q₃, δ(q₁,1)=q₀, δ(q₁,2)=q₁
• δ(q₂,0)=q₁, δ(q₂,1)=q₂, δ(q₂,2)=q₀
• δ(q₃,·)=q₃ (흡수 상태)
  출력 τ는 τ(q₀)=0, τ(q₁)=1, τ(q₂)=2, τ(q₃)=0 로 지정한다. 이 자동기계는 입력 n을 3진수로 읽으며 최종 상태에 따라 aₙ 값을 산출한다. 저자는 이 DFAO가 위의 반복적 정의와 동일한 수열을 생성함을 귀납적으로 증명한다.

핵심적인 기술적 통찰은 ‘자동성’과 ‘무제곱성’ 사이의 연결 고리를 명시했다는 점이다. 자동수열은 일반적으로 정규 언어와 밀접한 관계가 있지만, 무제곱성이라는 조합론적 제약을 동시에 만족시키는 사례는 드물다. 논문은 DFAO의 전이 구조가 ‘3진수 자리수의 캐리(carry)’와 직접 대응함을 이용해, 어떤 자리수에서도 동일 블록이 두 번 연속 나타날 가능성을 차단한다. 특히, 상태 q₃는 “이미 금지된 패턴이 감지된 경우”를 나타내는 흡수 상태로, 이 상태에 도달하면 출력이 0으로 고정되지만, 실제 입력에서는 q₃에 도달하지 않음이 증명된다. 이는 자동기계가 ‘패턴 회피(pattern avoidance)’를 내재적으로 구현한다는 의미다.

또한, 저자는 수열의 복잡도(복잡도 함수 p(n))와 균형성(balancedness)도 분석한다. p(n) = Θ(n) 로, 무제곱 수열이면서도 선형 복잡도를 유지한다는 점은 기존의 무제곱 수열(예: Thue‑Morse)과 유사하지만, 3진 알파벳 특성상 각 기호의 등장 빈도가 거의 동일하게 유지되는 ‘균형’ 특성을 보인다. 이는 무작위성 테스트와 암호학적 응용에 유리한 속성으로 평가된다.

마지막으로, 논문은 이 수열이 ‘k‑automatic’ (k=3)이라는 점에서, Cobham’s theorem과 연결해 자동수열의 분류 체계에 새로운 사례를 제공한다. 또한, DFAO 기반 정의는 구현이 간단해 실제 하드웨어(예: FPGA)나 소프트웨어(예: 스트림 처리)에서 실시간으로 무제곱 수열을 생성할 수 있는 장점을 강조한다.