다이아몬드 솔리테어: 마름모형 보드에서의 최대 스윕과 리듬 매치스틱 수

본 논문은 페그 솔리테어를 전통적인 33‑홀 십자형 보드와 15‑홀 삼각형 보드에서 시작하여, 삼각 격자 위에 정의된 다양한 다각형 보드, 특히 변이 모두 같은 평행사변형인 Rhombus(n) 형태에 대한 새로운 특성을 연구한다. 첫 번째 섹션에서는 “스윕(sweep)”과 “슈퍼‑스윕(super‑sweep)”이라는 용어를 정의한다. 스윕은 하나의 페그가 연속적으로 여러 페그를 뛰어넘어 잡는 일련의 점프이며, 그 길이 n은 잡힌 페그 수와 동일하다. 슈퍼‑스윕은 스윕이 보드의 모든 구멍을 한 번씩 방문하거나 시작·끝점으로 사용한다는 추가 조건을 갖는다. 이를 그래프 이론의 오일러 경로와 동일시함으로써, 슈퍼‑스윕이 존재하려면 해당 그래프의 홀수 차수 정점이 0개 혹은 2개이어야 함을 보인다. 이 정리를 이용해 8각형 비볼록 보드, 6각형·별형 보드 등은 슈퍼‑스윕이 불가능함을 증명한다. 두 번째 섹션에서는 Rhombus(n) 보드에서 n이 홀수일 때 존재하는 슈퍼‑스윕의 구체적인 길이식을 제시한다. 길이 L은 (3n+1)(n‑1)/4 로, n=3,5,7,9 일 때 각각 5,16,33,56이 된다. 이 수열은 “rhombic matchstick number”라 불리며, 보드 전체 구멍 수 n²에 비해 약 3/4에 해당하는 페그를 한 번에 제거한다는 의미다. 그림 3은 n=3,5,7,9에 대한 슈퍼‑스윕을 시각화한다. 세 번째 섹션은 Rhombus(6) 보드(36‑홀)에서의 특별한 성질을 다룬다. 이 보드는 모든 가능한 시작 구멍(35가지)에서 16‑스윕을 포함하는 해가 존재한다는 점에서 유일하다. 저자는 컴퓨터 탐색을 통해 16‑스윕이 보드의 네 가지 가능한 시작‑끝 위치 중 세 곳에서는 실현 가능하고, 나머지 한 곳(b1→f5)은 불가능함을 확인한다. 또한 보완 문제(complement problem)—시작 구멍과 최종 구멍이 서로 보완인 경우—에서도 16‑스윕을 마지막, 두 번째, 세 번째 이동에 배치할 수 있음을 보인다. 특히 d3 보완 문제의 17‑이동 해법은 대칭성을 유지하면서 진행되는 흥미로운 사례이며, 그림 5에 상세히 제시된다. 네 번째 섹션에서는 최소 이동 수에 관한 실험 결과를 제시한다. Rhombus(6)에서 모든 보완 문제(12가지) 중 7가지가 13번 이동으로 해결 가능하고, 나머지는 14번 이동이 필요함을 확인한다. 13‑이동 해법은 “Merson region” 분석을 통해 최단임을 증명한다. 또한, Rhombus(6)와 Triangle(8) 보드가 각각 36개의 구멍을 가지고 있다는 사실을 이용해 두 보드의 최소 해법 길이를 비교한다. 그림 7은 두 보드의 보완 문제별 최소 이동 수를 색으로 구분하여 보여준다. 다섯 번째 섹션은 일반적인 Rhombus(6i) 보드에 대한 정리를 제시한다. 정리: i>0이면 Rhombus(6i) 보드에서 최종 이동이 길이 r=(9i‑1)(3i‑1)인 최대 스윕이 되는 해가 존재한다. 증명은 Forward/Backward 정리를 활용해 스윕 패턴의 보완 상태를 1개의 페그로 축소하는 과정을 세 단계(A, B, C)로 나눈다. 단계 A는 좌측 6열과 상단 4행을 정리하는 8개의 이동으로 구성되고, 보드가 더 크면 다중 점프를 확장한다. 단계 B는 스윕 영역을 6행·6열씩 감소시키는 9개의 이동을 (i‑2)번 반복한다. 단계 C는 남은 부분을 한 번에 정리하는 9개의 이동으로 마무리한다. 이 과정을 통해 임의의 i에 대해 구체적인 이동 순서가 존재함을 보이며, r값이 바로 “rhombic matchstick number”와 일치함을 확인한다. 결론적으로, 삼각 격자 보드에서는 큰 보드에서 최대 스윕이 도달 불가능한 경우가 많지만, 마름모형 보드에서는 크기에 관계없이 최대 스윕을 구현할 수 있음을 보여준다. 이는 보드의 대칭성, 오일러 경로 조건, 그리고 보완 문제와의 연계가 페그 솔리테어 해법 구조에 미치는 영향을 깊이 있게 탐구한 사례이며, 향후 더 큰 보드나 다른 격자 구조에 대한 확장 가능성을 제시한다.