연속 구간 함수에 적용되는 LULU 연산자

초록

연속 구간 위에 정의된 함수에 대해, 이산 시퀀스의 비선형 다중해상도 분석에서 널리 활용되는 LULU 연산자를 확장하였다. 제안된 연속형 연산자는 이산 버전이 가지고 있던 핵심 특성을 그대로 유지함을 보였다. 구체적으로, 네 개의 원소로 구성된 완전 순서화된 반군을 형성하고, 지역적 추세와 전체 변동량을 보존한다.

상세 요약

LULU 연산자는 원래 1차원 이산 시퀀스에 적용되는 비선형 필터링 기법으로, ‘L( lower)’과 ‘U( upper)’ 두 기본 연산을 순차적으로 조합함으로써 신호의 잡음을 제거하면서도 중요한 구조적 특징을 보존한다는 장점이 있다. 이 연산자는 ‘L ∘ U’, ‘U ∘ L’, ‘L ∘ L’, ‘U ∘ U’ 등 네 가지 조합으로 이루어진 반군(semi‑group)을 형성하고, 이들 사이에 완전 순서가 존재한다는 수학적 성질이 입증돼 왔다. 특히, LULU 연산자는 전체 변동(total variation)을 감소시키지 않으며, 신호의 국부적 기울기(지역 추세)를 그대로 유지한다는 점에서 전통적인 선형 필터와 차별화된다.

본 논문은 이러한 이산적 특성을 연속적인 실수 구간으로 일반화한다는 목표를 갖는다. 먼저, 연속 함수 f :