P행렬 인식 문제는 coNP완전이다

초록

본 논문은 P‑행렬(모든 주대각소 행렬식이 양수인 정방행렬) 판별 문제가 co‑NP‑완전임을 보인다. 이를 위해 SIMPLE MAX CUT 문제를 r‑노름 계산 문제로, 다시 r‑노름 문제를 랭크‑1 행렬 구간 특이성 문제로, 마지막으로 구간 특이성 문제를 P‑행렬 여부 판단으로 순차적으로 다항식 시간 감소시킨다. 각 단계에서 Poljak‑Rohn의 결과와 행렬 이론적 성질을 활용한다.

상세 분석

이 논문은 P‑행렬 인식 문제의 복잡도 클래스를 정확히 규정함으로써, 기존에 알려진 P‑행렬의 구조적 특성(예: 모든 주소행렬식이 양수)과는 별개로, 결정 문제로서의 난이도가 높은 것을 입증한다. 핵심은 네 단계의 다항식 감소이다. 첫 번째 단계에서는 SIMPLE MAX CUT 문제를 r‑노름(Matrix R‑NORM) 문제로 변환한다. 그래프 G의 인접행렬 A(G)에 큰 상수 ℓ을 더해 대각선 우세 행렬 A=ℓI−A(G)를 만든 뒤, r(A)=max_{z,y∈{−1,1}^n} z^T A y 가 실제로 y^T A y 와 동일함을 보인다. 이때 y에 의해 정의된 정점 집합 S는 그래프의 컷을 나타내며, r(A)≥nℓ−2|E|+4K ⇔ G에 크기 K 이상의 컷이 존재한다는 식을 얻는다. 따라서 MAX CUT의 NP‑완전성을 r‑노름 문제의 NP‑hardness로 이전한다.

두 번째 단계에서는 r‑노름 문제를 RK1‑Matrix‑Interval‑Singularity 문제로 변환한다. 여기서 ρ₀(A)=max{|λ|: λ∈ℝ, λ는 A의 고유값}를 정의하고, Lemma 2에 의해