카프 반 모에르베케 계층의 라크스 쌍 동등성

이 논문은 카프‑반 모에르베케(KM) 계층을 두 가지 서로 다른 라크스 쌍을 통해 정의하고, 이 두 정의가 실제로 동일한 진화 방정식 집합을 만든다는 것을 순수 대수적 방법으로 증명한다. 1. 서론에서는 KM 계층이 원래 Kac‑van Moerbeke가 제시한 Jacobi 행렬 기반 라크스 쌍과, 초대칭 디랙형 차분 연산자를 이용한 라크스 쌍 두 가지로 존재함을 소개한다. 두 접근법 모두 토다 계층과 깊은 연관성을 가지며, 전자는 b=0인 토다 계층의 짝수 방정식, 후자는 디랙 연산자를 제곱해 두 개의 Jacobi 연산자를 얻는 방식으로 KM 계층을 유도한다. 그러나 두 방법이 동일한 계층을 만든다는 명시적 증명은 기존 문헌에 없었다. 2. 제2절에서는 토다 계층을 라크스 형식으로 재구성한다. 시간에 따라 변하는 실수열 a(t), b(t)로 정의된 Jacobi 연산자 H(t)=a(t)S⁺+a⁻(t)S⁻+b(t)를 도입하고, 상수 c_j를 이용해 계수열 g_j, h_j를 정의한다. 이들은 재귀식 (2.3)을 만족한다. 라크스 연산자 P_{2r+2}(t)는 (2.4)에 의해 정의되며, Lax 방정식 dH/dt=