다양한 측정과 대규모 교차성을 가진 집합의 구조

초록

본 논문은 이질적 풍부 시스템을 이용해, 거리 조건 $$|x-k-x_i|<r_i^{,t}$$ 를 무한히 만족하는 점들의 집합 (E_t) 가 특정 게이지 함수 (h)에 대해 대규모 교차 클래스 (\mathcal{G}^h(\mathbb{R}^d))에 속함을 증명한다. 이를 통해 (E_t)는 (h)보다 빠르게 증가하는 모든 게이지 함수 (g)에 대해 무한한 Hausdorff (g)-측도를 갖는다. 결과는 측정 이론과 메트릭 수론의 여러 전형적인 문제에 적용 가능함을 보인다.

상세 분석

논문은 먼저 (\mu)라는 Borel 측정과 지수 (\alpha>0)에 대해, 구의 (\mu)-질량이 (r_i^{\alpha})와 동등하게 행동하는 인덱스 집합 (I^{\mu,\alpha})를 정의한다. 이때 ((x_i,r_i)_{i\in I})가 (\mu)에 대한 이질적 풍부(heterogeneous ubiquitous) 시스템이라면, 임의의 (t\ge1)에 대해
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