주기적 GARCH 과정의 준최대우도 추정

초록

본 논문은 파라미터가 주기적으로 변하는 GARCH 모델(P‑GARCH)의 엄격한 주기적 정상성 존재 조건을 제시하고, 이러한 조건 하에서 QMLE의 강일치성과 점근적 정규성을 증명한다. 특히, 기본 과정의 고차 모멘트 가정 없이도 해석이 가능하도록 새로운 순간 존재 결과를 도출하였다.

상세 분석

본 연구는 기존 GARCH 이론을 주기적 구조로 확장함으로써, 계절성이나 정책 주기 등 시간에 따라 변동성이 체계적으로 변하는 현상을 모델링할 수 있는 토대를 마련한다. 먼저 저자는 P‑GARCH 방정식
(X_t = \sigma_t \varepsilon_t,;\sigma_t^2 = \alpha_{0,t} + \sum_{i=1}^q \alpha_{i,t} X_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^p \beta_{j,t} \sigma_{t-j}^2)
에서 계수 (\alpha_{·,t},\beta_{·,t})가 일정한 주기 (m)를 갖는 함수임을 가정한다. 이때 기존 문헌에서 사용되던 ‘모든 시점에서 동일한 2차 모멘트 존재’와 같은 강한 가정 없이, 저자는 ‘주기적 마코프 연쇄’의 고정점 존재와 관련된 필요충분조건을 제시한다. 구체적으로, 각 주기 내에서의 계수 행렬들의 곱이 평균적으로 수축성을 만족하면, 즉
(\rho\bigl(\prod_{k=1}^m A_k\bigr) < 1)
(여기서 (A_k)는 해당 시점의 GARCH 계수 행렬)일 경우에 한해, 엄격히 주기적 정상(stationary)인 해가 존재함을 보인다. 이 조건은 기존의 ‘전역적인 2차 모멘트 유한성’보다 약하며, 실제 데이터에서 관측되는 계절적 변동성을 보다 현실적으로 반영한다.

정상성 확보 후, 저자는 해의 양의 정수 차수 모멘트가 유한함을 증명한다. 핵심은 ‘주기적 연산자’에 대한 Lyapunov 함수 구축이며, 이를 통해 (\mathbb{E}