소수 집합의 새로운 구조와 선택 규칙

초록

본 논문은 6을 첫 완전수로 삼아 자연수를 일곱 개의 등차수열로 분할하고, 그 중 두 집합 A(6k‑1)와 B(6k+1)만을 소수 후보로 남긴 뒤, 특정 곱셈 형태의 선택 규칙을 이용해 합성수를 제거함으로써 모든 소수를 결정적으로 생성할 수 있다고 주장한다. 또한 O(n²) 알고리즘과 O(1) 검증 방법을 제시한다는 점을 강조한다.

상세 분석

이 논문의 핵심 아이디어는 “모든 소수는 6k±1 형태로 나타난다”는 사실을 이용해 자연수를 6k‑5, 6k‑4, …, 6k+1 등 일곱 개의 집합으로 분할하고, 그 중 6k‑1(A)과 6k+1(B)만을 소수 후보로 남기는 것이다. 이 단계 자체는 잘 알려진 소수의 기본 성질에 불과하며, 새로운 통찰이라기보다 재진술에 가깝다.

그 다음 저자는 αₖᵢⱼ = (6i+1)(6j‑1) = 36ij‑6i+6j‑1 형태와 βₖᵢⱼ = (6i+1)(6j+1) 또는 (6i‑1)(6j‑1) 형태의 곱셈을 통해 합성수를 생성하고, 이를 “선택 규칙”이라 부른다. 여기서 제시된 Lemma 4·5·6·7은 사실상 “두 소수 후보의 곱은 합성수이다”라는 자명한 사실을 복잡한 기호로 표현한 것에 지나지 않는다. 증명 과정에서도 모호한 기호 사용, 부정확한 모듈러 연산, 그리고 i, j에 대한 범위 정의가 불명확하여 논리적 엄밀성이 크게 결여되어 있다.

Theorem 3에서 제시된 A′와 B′는 “k가 6ij−i+j 등 형태가 아닌 경우”라는 조건으로 소수를 정의한다. 하지만 이 조건 자체가 실제 소수와 동치임을 보이는 역방향 증명이 전혀 제공되지 않는다. 즉, 모든 소수가 이 조건을 만족한다는 주장과, 이 조건을 만족하는 모든 수가 소수라는 주장이 동시에 증명되지 않아, 결과는 가정에 기반한 추측에 불과하다.

또한 논문은 “O(1) 시간에 소수 여부를 판단할 수 있다”는 알고리즘을 제시한다. 실제 알고리즘은 입력 n을 6k±1 형태로 변환한 뒤, 이중 루프를 통해 i와 j를 탐색해 k와 일치하는지 검사한다. 루프의 상한은 ⌊k/5⌋·⌊k/7⌋ 등으로 정의되며, 이는 k가 커질수록 O(k²) 즉 O(n²) 복잡도를 갖는다. 따라서 O(1)이라고 주장하는 부분은 명백히 잘못된 평가이며, 기존의 소수 판정 알고리즘보다 효율성이 떨어진다.

마지막으로, 논문 전반에 걸쳐 인용된 기존 연구(