고차원 볼록집합의 스테이너 민코프스키 다항식과 극한 전체함수

초록

본 논문은 n차원 유클리드 공간의 볼록집합 K에 대해, K의 t-반경 이웃집합의 부피를 나타내는 스테이너‑민코프스키 다항식 M_K(t)를 정의하고, 이를 복소수 t 전역으로 확장한다. 저자는 다항식의 정규화 과정을 제시하여, 모든 차원과 모든 실체 볼록집합에 대해 정규화된 다항식들의 모임이 복소평면 전체에서 정규 가족(normal family)을 이룸을 증명한다. 또한, n이 무한대로 갈 때 네 종류의 전형적인 볼록집합(유클리드 구, 정육면체, 정규 교차다면체, 정규 단순체)에서 얻어지는 정규화된 스테이너‑민코프스키 다항식의 극한 전체함수를 명시적으로 계산한다.

상세 분석

스테이너‑민코프스키 다항식 M_K(t)은 고전적인 스테이너 공식 Vol(K + tB^n)=∑{j=0}^n κ{n‑j} V_j(K) t^{n‑j}에서 영감을 얻었다. 여기서 B^n는 단위 구, κ_m는 m차원 구의 부피, V_j(K)는 K의 j차 내재 부피(intrinsic volume)이다. 논문은 먼저 M_K(t)를 복소수 t에 대해 전개함으로써, 다항식이 실제로는 차수가 n인 전체함수이며, 계수들은 K의 기하학적 불변량과 직접 연결된다는 점을 강조한다.

정규화 과정은 두 단계로 이루어진다. 첫째, 전체 부피 V_n(K)=Vol(K)로 나누어 단위 부피를 갖는 표준형으로 만든다. 둘째, t를 K의 평균 반경(또는 평균 폭) w(K)와 비교하는 무차원 변수 s=t/w(K)로 치환한다. 이렇게 정의된 정규화 다항식
p_K(s)=M_K(w(K)s)/V_n(K)
은 차수가 n이면서 계수들의 절대값이 1 이하가 되도록 조정된다. 주요 정리 중 하나는 “정규화된 스테이너‑민코프스키 다항식들의 모임 {p_K}는 복소평면 전체에서 정규 가족이다”라는 것이다. 이는 Montel 정리와 비슷한 논리를 사용해, 모든 K에 대해 |p_K(s)|가 임의의 유한 원판 안에서 균등하게 유계임을 보임으로써 증명된다. 결과적으로, 수열 {p_{K_n}}가 어떤 볼록집합 시퀀스 K_n에 대해 n→∞일 때 수렴한다면, 그 극한은 전체함수이며, 이는 복소해석학적 관점에서 고차원 볼록기하학을 연구하는 새로운 도구가 된다.

다음으로 저자는 네 가지 전형적인 볼록집합에 대해 구체적인 극한 함수를 도출한다.

1. 유클리드 구 B_R^n: M_{B_R^n}(t)=ω_n(R+t)^n이므로 정규화 후 p_{B_R^n}(s)=(1+s)^n이 된다. n→∞에서 s를 n^{-1}·x와 같이 스케일링하면, (1+x/n)^n→e^{x}가 된다. 따라서 극한 전체함수는 지수함수 e^{x}이다.

2. **정육면체 C_n=