무작위 보행 속도와 군 임베딩: 압축 지수와 마코프 타입의 새로운 연결

이 논문은 유한 생성 군 G와 Banach 공간 X 사이의 임베딩 문제를 두 개의 핵심 지표, 즉 압축 지수 α⁎ₓ(G)와 랜덤 워크 속도 지수 β⁎(G)를 통해 통합적으로 분석한다. 먼저, X가 매끄러움 차수 p(=제곱형 매끄러움) 를 가질 때, 임베딩이 거리 d_G(x,y)^α 정도 보존한다면 α·p·β⁎(G) ≤ 1이라는 불평등이 성립함을 보인다. 이는 기존에 Hilbert 공간(L₂)에서만 알려졌던 Guentner‑Kaminker 정리를 일반 Banach 공간으로 확장한 것으로, 특히 X=L_p인 경우 p·α⁎_p(G)·β⁎(G) ≤ 1이 정확히 맞음(Sharp)함을 증명한다. 핵심 아이디어는 1‑코사이클 f:G→X에 대해 마코프 타입 부등식을 변형한 정리 2.1을 이용하는 것이다. 이 정리는 비정지 마코프 체인 {f(Wₜ)}에 대해 E