특성 Sturmian 단어에서 회문의 발생 위치 분석

초록

본 논문은 기울기 α(0<α<1)인 특성 Sturmian 단어 cα에 나타나는 모든 회문 인자를 조사한다. cα는 균등 재발성을 가지므로 각 회문은 무한히 반복되며, 저자들은 각 회문의 등장 위치를 정확히 기술하는 분해법을 제시한다. 이 분해는 α의 연속분수 전개와 직접적인 연관을 가진다.

상세 분석

Sturmian 단어는 두 알파벳으로 이루어진 무한 문자열 중 복잡도 p(n)=n+1을 만족하는 유일한 클래스이며, 기울기 α와 초기점 ρ에 의해 완전히 결정된다. 특히 특성 Sturmian 단어 cα는 ρ=1−α 로 정의되며, 이는 “표준” 형태라 불리는 전형적인 전개를 갖는다. 본 논문은 이러한 cα 안에서 회문(palindrome) 인자 u가 나타나는 정확한 위치 구조를 규명한다.

우선 저자들은 cα가 균등 재발(Uniformly recurrent)임을 이용해, 임의의 유한 인자 w가 무한히 많이 등장하고 그 사이의 간격이 상한을 가진다는 사실을 재확인한다. 회문 u에 대해서는 “return word” 개념을 도입해, u를 포함하는 최소 구간들을 조사한다. 각 구간은 두 개의 표준 단어 s_k, s_{k−1} (연속분수 전개의 부분수에 대응) 로 구성된 블록으로 표현될 수 있음을 보인다.

핵심 정리는 다음과 같다. α의 연속분수 전개
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