그래프 동형성은 PSPACE 완전이다

초록

본 논문은 Meyer·Stockmeyer의 정규식 동등성 문제와 Booth의 유한 자동자와 그래프 동형성의 다항식 동등성을 결합하여 그래프 동형성 문제가 PSPACE‑complete임을 주장한다. 그러나 증명은 기존 결과를 부정확하게 인용하고 논리적 연결 고리가 결여돼 있다.

상세 분석

이 논문은 세 가지 주요 선행 연구를 조합해 그래프 동형성(Graph Isomorphism, GI)이 PSPACE‑complete임을 주장한다. 첫 번째는 Meyer와 Stockmeyer(1972)가 제시한 “정규식에 제곱 연산을 허용한 경우의 동등성 문제는 지수적 공간을 필요로 한다”는 결과이다. 이 결과는 정규식 동등성 문제가 PSPACE‑hard임을 보여주지만, 정규식 동등성 자체가 PSPACE‑complete라는 결론은 증명되지 않았다. 실제로 정규식 동등성은 PSPACE에 속하지만 완전성은 아직 확정되지 않았다.

두 번째는 Booth(1978)의 논문으로, 유한 자동자(isomorphism of finite automata)와 그래프 동형성이 다항식 시간 내에 상호 변환 가능함을 보인다. 이는 GI가 자동자 동형성 문제와 동등함을 의미하지만, 자동자 동형성 자체가 PSPACE‑hard라는 사실은 존재하지 않는다. 자동자 동형성은 현재 NP에 속하고, 아직 PSPACE‑hard임이 증명된 바 없다.

세 번째로 논문은 정규식, 오른쪽 선형 문법, 유한 자동자 사이의 알려진 등가성을 인용한다. 이 등가성은 언어 인식 능력의 동등성을 나타낼 뿐, 복잡도 클래스 간의 포함 관계를 직접 연결하지 않는다. 즉, 정규식 동등성의 PSPACE‑hard성을 자동자 동형성에 전이시킬 근거가 부족하다.

논문은 위 세 결과를 “함께 사용하면 GI가 PSPACE‑complete가 된다”는 결론을 도출하지만, 구체적인 다항식 환원 절차나 공간 복잡도 보존에 대한 증명이 전혀 제시되지 않는다. 특히, 정규식 동등성 문제는 입력 크기와 비교해 매우 다른 구조를 가지며, 이를 그래프 구조로 변환하면서 공간 복잡도가 어떻게 보존되는지는 명확히 설명되지 않는다.

또한 참고문헌 목록에도 오류가 있다.