유사 간헐 신호들의 합으로 나타나는 의사주기성 및 1/f 잡음

초록

본 논문은 동일한 완화 시간(relaxation time)을 갖는 단일 측면 이진 신호들을 다수 중첩할 경우, 신호 간 우연한 동시 발생이 교차 상관을 만들어내어 의사주기적인 펄스열을 형성하고, 결과적으로 1/f 형태의 잡음 스펙트럼이 나타난다는 점을 실험 및 시뮬레이션을 통해 입증한다.

상세 분석

이 연구는 전통적인 1/f 잡음 모델이 “많은 독립적인 두 레벨 신호들의 완화 시간 분포”에 의존한다는 가정을 비판하고, 완화 시간이 동일한 다수의 단일측면(two‑sided) 이진 신호가 어떻게 동일한 스펙트럼 특성을 생성할 수 있는지를 탐구한다. 핵심 아이디어는 각 신호가 ‘on’ 상태와 ‘off’ 상태를 교대로 나타내는 간헐적(Intermittent) 과정이며, 이 과정은 동일한 평균 지속시간 τ를 가진 지수적 탈동조(relaxation) 특성을 가진다. 독립적인 경우라면 합산된 신호는 단순히 백색 잡음에 가까운 스펙트럼을 보이지만, 실제로는 각 신호가 동시에 ‘on’ 상태가 되는 순간, 즉 “coincidence”가 발생한다. 이러한 동시 발생은 교차 상관(cross‑correlation) 항을 생성하고, 이 항은 시간축상에서 국소적으로 높은 진폭의 펄스를 만든다. 펄스들은 일정한 주기를 갖지는 않지만, 평균 간격이 τ에 근접한 의사주기(pseudo‑periodic) 구조를 형성한다.

수학적으로는 각 신호 s_i(t)를 0‑1 이진 함수로 모델링하고, 전체 신호 S(t)=∑_i s_i(t)의 자기상관함수와 파워 스펙트럼을 전통적인 Wiener‑Khinchin 정리를 이용해 전개한다. 여기서 교차 상관 항은 ⟨s_i(t)s_j(t+τ)⟩ (i≠j) 형태로 나타나며, 이는 독립적인 경우 0이지만, 동시 ‘on’ 이벤트가 존재하면 비제로가 된다. 이 항이 누적되면 저주파 영역에서 1/f^α (α≈1) 형태의 스펙트럼이 나타난다.

시뮬레이션에서는 N=10^4~10^5개의 동일 τ를 갖는 랜덤 텔레그래프 신호를 생성하고, 그 합을 FFT로 분석하였다. 결과는 전통적인 1/f 잡음과 거의 구별되지 않을 정도의 로그‑로그 직선 구간을 보여준다. 또한, τ를 변화시켰을 때 저주파 경사와 고주파 절단점이 τ에 비례함을 확인함으로써, 모델이 물리적 시스템에서 관측되는 ‘cut‑off frequency’와 일치함을 입증한다.

이 모델의 장점은 복잡한 시간 상수 분포를 가정하지 않아도 된다는 점이며, 따라서 전자 소자, 생물학적 신경망, 지진 데이터 등 다양한 분야에서 관측되는 1/f 잡음 현상을 단순한 ‘동시 발생’ 메커니즘으로 설명할 수 있다. 그러나 모델은 신호가 완전히 동일한 τ를 가질 때만 정확히 적용되며, 실제 시스템에서는 τ의 작은 변동성이나 비선형 상호작용이 추가적인 보정이 필요할 수 있다.