심플렉틱 C∞‑대수와 대칭 구조의 일대일 대응

본 논문은 “Symplectic C∞‑algebras”라는 제목 아래, 강하게 동형(commutative) ∞‑대수(C∞‑algebra)와 그 대칭 버전(symplectic C∞‑algebra) 사이의 정확한 대응 관계를 체계적으로 구축한다. 1. **서론 및 배경** 서론에서는 A∞‑대수와 C∞‑대수의 역사적 배경을 소개하고, 특히 Kontsevich이 제시한 “commutative Frobenius algebra의 ∞‑일반화”인 대칭 C∞‑대수의 필요성을 강조한다. 또한, 그래프 호몰로지와 문자열 위상학 사이의 연관성을 언급하며, 본 연구가 이러한 분야에 제공할 잠재적 응용을 제시한다. 2. **비가환 형식 기하학** 섹션 2에서는 자유 그레이드 모듈 W에 대해 완전 자유 리 대수 bL W와 완전 자유 텐서 대수 bT W를 정의하고, 이들 위에 Lie 1‑형식 Ω¹(W)와 전체 형식 복합체 Ω·(W)를 구축한다. 여기서 도함수(벡터 필드) ξ와 그에 대응하는 Lie 미분 L_ξ, 수축 연산 i_ξ를 정의하고, 이 연산들이 만족하는 기본 항등식(Lemma 2.5)을 제시한다. 이어서 비가환 de Rham 복합체 DR·(W)를 정의하고, 대칭 2‑형식 ω∈DR²(W)의 비퇴화와 폐쇄성을 통해 “symplectic form”을 정의한다(Definition 2.8). 3. **C∞‑대수와 관련 코호몰로지** 섹션 3에서는 C∞‑구조를 차수 +1인 벡터 필드 m: bL ΣV* → bL ΣV* 로 정의하고, 단위가 존재하는 경우(Definition 3.3)와 존재하지 않는 경우를 구분한다. 이후 Harrison 복합체 C·Harr(V,V)와 그 변형인 C·Harr(V,V*)·, 그리고 순환 Harrison 복합체 CC·Harr(V)를 차례로 정의한다. 핵심 정리 3.8은 순환 Harrison 코호몰로지와 일반 Harrison 코호몰로지 사이의 사상 I가 차수 i≥3 에서 동형임을 보여, 두 복합체가 실질적으로 동일한 정보를 담고 있음을 증명한다. 4. **장애 이론 및 Hodge 분해** 섹션 4는 C_n‑구조와 그 대칭 버전의 장애 이론을 전개한다. 여기서는 차수 n 까지 정의된 구조를 차수 n+1 으로 연장하려면 특정 장애 클래스가 순환 Hochschild 코호몰로지(HC)에서 사라져야 함을 보인다. 비가환 형식 기하학에서 도입한 수축·리 연산을 이용해 이 장애 클래스를 명시적으로 계산하고, 대수적 Hodge 분해(논문