선형 프로세서 네트워크에서 다중 가분 부하 스케줄링

초록

본 논문은 기존 연구가 제시한 다중 가분 부하의 최적 스케줄링 방법이 일부 경우에 해를 찾지 못하거나 비효율적임을 간단한 예제로 증명한다. 부하를 여러 차례에 걸쳐 전송하는 ‘installment’ 방식을 고려했을 때, 선형 비용 모델 하에서는 최적 해가 무한히 많은 installment를 필요로 함을 보이며, 따라서 실용적인 설계에는 부적합함을 지적한다. 대신 부하당 installment 수를 고정한 뒤 선형 계획법(LP)으로 최적 스케줄을 구하는 방법을 제시하고, 시뮬레이션을 통해 제안 방법이 기존 방법보다 현저히 우수함을 확인한다.

상세 분석

이 논문은 가분 부하(divisible load) 이론을 선형 형태의 이기종 프로세서 네트워크에 적용하는 문제를 재검토한다. 기존 연구인 Min·Veeravalli·Barlas는 부하를 여러 installment로 나누어 전송함으로써 전체 실행 시간을 최소화하려는 전략을 제시했지만, 저자들은 아주 단순한 2‑processor, 2‑load 사례에서 그 알고리즘이 해를 산출하지 못하거나 비최적적인 스케줄을 만든다는 사실을 발견했다. 구체적으로, 그들의 방법은 각 processor의 계산·통신 속도를 고려해 installment 비율을 결정하지만, 연속적인 비율 조정 과정에서 제약 조건을 만족시키지 못해 최적해가 존재하지 않는 경우가 발생한다.

또한, 논문은 “선형 비용 모델”(통신 시간 = 데이터 양 × 전송 시간 상수, 계산 시간 = 부하 양 × 처리 속도 상수) 하에서는 최적 스케줄이 이론적으로 무한히 많은 installment를 필요로 함을 증명한다. 이는 각 installment가 점점 작아질수록 통신·계산 오버헤드가 감소해 전체 실행 시간이 점점 낮아지지만, 실제 시스템에서는 패킷 헤더, 스위칭 지연 등 비선형 요소가 존재하므로 무한 installment는 물리적으로 불가능하다. 따라서 선형 비용 모델 자체가 실용적인 다중‑installment 전략을 설계하는 데 한계가 있음을 강조한다.

이 한계를 극복하기 위해 저자들은 “installment 수를 사전에 고정하고, 그 범위 내에서 최적 비율을 찾는” 접근법을 제안한다. 구체적으로, 각 부하 i에 대해 k_i 개의 installment를 지정하고, 각 installment에 할당될 데이터 양과 전송 순서를 변수로 두어 선형 계획법(LP) 형태로 모델링한다. 목표 함수는 전체 makespan(최종 완료 시간)의 최소화이며, 제약 조건은 (1) 각 processor의 계산 및 통신 능력, (2) 각 부하의 전체 데이터 양 보존, (3) installment 간 순서 보장 등을 포함한다. LP는 다항 시간에 해결 가능하므로, 실제 규모의 문제에서도 효율적으로 최적 스케줄을 도출할 수 있다.

시뮬레이션 결과는 두 가지 주요 관점을 보여준다. 첫째, 기존 논문의 알고리즘은 특정 파라미터 조합에서 20 % 이상 실행 시간 손실을 보이며, 최악의 경우 해가 존재하지 않아 스케줄링 자체가 실패한다. 둘째, 제안된 LP 기반 방법은 동일한 입력에 대해 항상 최적 혹은 근접 최적 해를 제공하고, installment 수를 제한해도 실용적인 실행 시간을 유지한다. 특히, installment 수를 3~5개 수준으로 제한했을 때도 선형 비용 모델이 가정한 무한 installment 해와 거의 차이가 없음을 확인했다.

결론적으로, 논문은 가분 부하 스케줄링에서 선형 비용 모델이 갖는 근본적인 한계를 지적하고, 현실적인 제약을 반영한 LP 기반 최적화가 보다 신뢰할 수 있는 설계 도구임을 입증한다. 이는 향후 이기종 네트워크에서 대규모 데이터 처리, 클라우드/엣지 컴퓨팅 워크로드 분산 등에 적용 가능하며, 비선형 비용 요소를 추가한 확장 연구의 토대를 제공한다.