윌리의 부등식에 대한 새로운 간결 증명

초록

윌리(1980)가 제시한, 정점 수보다 ℓ개의 간선이 더 많은 연결 그래프의 개수에 관한 부등식을 짧고 직관적인 방법으로 다시 증명한다. 생성함수와 복합 분석 기법을 활용해 기존 증명의 복잡성을 크게 낮추었다.

상세 요약

본 논문은 그래프 이론에서 오래전부터 중요한 위치를 차지하고 있는 윌리의 부등식, 즉 ‘excess ℓ(=E−V)’를 가진 연결 그래프의 수 c_{n,ℓ}에 대한 상하한을 다룬다. 윌리의 원 논문은 복잡한 조합적 추론과 다중 합을 이용해 c_{n,ℓ}≈n^{n+ℓ-2}·e^{-n}·(2ℓ)!/(ℓ!·2^{ℓ})·n^{-3ℓ/2}·(1+O(ℓ/n)) 형태의 비대칭적 부등식을 얻었다. 그러나 그 증명은 다단계의 부등식 전개와 정교한 경계 추정에 의존해 가독성이 떨어졌다.

본 연구는 이러한 복잡성을 제거하고, ‘생성함수 접근법’을 핵심으로 삼는다. 먼저, 연결 그래프의 지수 생성함수 C(x,y)=∑{n,ℓ}c{n,ℓ}x^{n}y^{ℓ}/n! 를 정의하고, 기본적인 트리 생성함수 T(x)=x·e^{T(x)}(즉, T(x)=W(x)·e^{W(x)})와의 관계를 이용한다. 연결 그래프는 트리에 사이클을 추가하는 과정으로 해석될 수 있으므로, C(x,y)=T(x)·exp\bigl(y·\frac{T(x)^{2}}{2}+y^{2}·\frac{T(x)^{3}}{3}+⋯\bigr) 라는 형태로 전개한다. 여기서 y는 ‘excess’를 추적하는 변수이다.

핵심 단계는 y에 대한 계수를 추출하기 위해 라그랑주 역전파(Lagrange inversion)를 적용하는 것이다. T(x)의 급수 전개와 복합함수의 미분을 조합하면, c_{n,ℓ}는
c_{n,ℓ}= \frac{n!}{(n-ℓ-1)!},